Номер 699, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 699, страница 121.

Условие.

699. Докажите, что если $2a - b = 1$, то $8a^3 - b^3 = 6ab + 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства воспользуемся данным равенством $2a - b = 1$.

Возведем обе части этого равенства в третью степень:

$(2a - b)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть по формуле куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x-y)$. В нашем случае $x = 2a$ и $y = b$:

$(2a)^3 - b^3 - 3 \cdot (2a) \cdot b \cdot (2a - b) = 1$

$8a^3 - b^3 - 6ab(2a - b) = 1$

Из начального условия мы знаем, что $2a - b = 1$. Подставим это значение в полученное уравнение:

$8a^3 - b^3 - 6ab \cdot (1) = 1$

$8a^3 - b^3 - 6ab = 1$

Теперь перенесем слагаемое $-6ab$ в правую часть уравнения:

$8a^3 - b^3 = 6ab + 1$

Таким образом, мы доказали требуемое тождество.

Ответ: Утверждение доказано.