Номер 692, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 692, страница 120.

Условие.

692. Укажите наименьшее натуральное значение $n$ такое, чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите полученный многочлен на множители по этим формулам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы выражение $x^{2n} - y^{3n}$ можно было разложить на множители по формуле разности квадратов ($a^2 - b^2$), необходимо, чтобы показатели степеней $2n$ и $3n$ были четными. Показатель $2n$ всегда является четным для любого натурального $n$. Показатель $3n$ будет четным, только если $n$ — четное число.

Для того чтобы это же выражение можно было разложить по формуле разности кубов ($a^3 - b^3$), необходимо, чтобы показатели степеней $2n$ и $3n$ были кратны 3. Показатель $3n$ всегда кратен 3 для любого натурального $n$. Показатель $2n$ будет кратен 3, только если $n$ кратно 3.

Следовательно, $n$ должно быть одновременно и четным числом, и числом, кратным 3. Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее этим двум условиям, — это наименьшее общее кратное чисел 2 и 3.

НОК(2, 3) = 6.

Таким образом, наименьшее натуральное значение $n$ равно 6. При $n=6$ выражение принимает вид: $x^{2 \cdot 6} - y^{3 \cdot 6} = x^{12} - y^{18}$.

Далее разложим полученный многочлен на множители по указанным формулам.

Разложение по формуле разности квадратов

Представим многочлен $x^{12} - y^{18}$ как разность квадратов: $x^{12} - y^{18} = (x^6)^2 - (y^9)^2$.

Применяя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^6$ и $b = y^9$, получаем:

$(x^6)^2 - (y^9)^2 = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9)$.

Ответ: $x^{12} - y^{18} = (x^6 - y^9)(x^6 + y^9)$.

Разложение по формуле разности кубов

Представим многочлен $x^{12} - y^{18}$ как разность кубов: $x^{12} - y^{18} = (x^4)^3 - (y^6)^3$.

Применяя формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = x^4$ и $b = y^6$, получаем:

$(x^4)^3 - (y^6)^3 = (x^4 - y^6)((x^4)^2 + x^4y^6 + (y^6)^2) = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.

Ответ: $x^{12} - y^{18} = (x^4 - y^6)(x^8 + x^4y^6 + y^{12})$.