Номер 688, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 688, страница 120.

Условие.

688. Решите уравнение:

1) $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) - 9x(3x^2 - 4) = 17;$

2) $(x + 4)(x^2 - 4x + 16) - x(x - 7)(x + 7) = 15;$

3) $(x + 6)(x^2 - 6x + 36) - x(x - 9)^2 = 4x(4.5x - 13.5).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1) - 9x(3x^2 - 4) = 17$

Первое произведение $(3x - 1)(9x^2 + 3x + 1)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$, где $a = 3x$ и $b = 1$.

Применим формулу и упростим левую часть уравнения:

$(3x)^3 - 1^3 - 9x(3x^2 - 4) = 17$

$27x^3 - 1 - 9x(3x^2 - 4) = 17$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$27x^3 - 1 - (9x \cdot 3x^2 - 9x \cdot 4) = 17$

$27x^3 - 1 - 27x^3 + 36x = 17$

Приведем подобные слагаемые:

$(27x^3 - 27x^3) + 36x - 1 = 17$

$36x - 1 = 17$

Перенесем свободный член в правую часть:

$36x = 17 + 1$

$36x = 18$

Найдем $x$:

$x = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$.

---

2) $(x + 4)(x^2 - 4x + 16) - x(x - 7)(x + 7) = 15$

Первое произведение $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$, где $a = x$ и $b = 4$.

Второе произведение $(x - 7)(x + 7)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Применим формулы:

$(x^3 + 4^3) - x(x^2 - 7^2) = 15$

$x^3 + 64 - x(x^2 - 49) = 15$

Раскроем скобки:

$x^3 + 64 - x^3 + 49x = 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + 49x + 64 = 15$

$49x + 64 = 15$

Перенесем свободный член в правую часть:

$49x = 15 - 64$

$49x = -49$

Найдем $x$:

$x = \frac{-49}{49} = -1$

Ответ: $-1$.

---

3) $(x + 6)(x^2 - 6x + 36) - x(x - 9)^2 = 4x(4.5x - 13.5)$

В левой части уравнения первое произведение $(x + 6)(x^2 - 6x + 36)$ является формулой суммы кубов $a^3+b^3$, а выражение $(x - 9)^2$ — квадратом разности.

Упростим левую часть:

$(x^3 + 6^3) - x(x^2 - 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) = x^3 + 216 - x(x^2 - 18x + 81)$

$x^3 + 216 - x^3 + 18x^2 - 81x = 18x^2 - 81x + 216$

Теперь упростим правую часть уравнения, раскрыв скобки:

$4x(4.5x - 13.5) = 4x \cdot 4.5x - 4x \cdot 13.5 = 18x^2 - 54x$

Приравняем упрощенные части:

$18x^2 - 81x + 216 = 18x^2 - 54x$

Вычтем $18x^2$ из обеих частей уравнения:

$-81x + 216 = -54x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа оставим в другой:

$216 = 81x - 54x$

$216 = 27x$

Найдем $x$:

$x = \frac{216}{27}$

$x = 8$

Ответ: $8$.