Номер 683, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 683, страница 119.

Условие.

683. Разложите на множители:

1) $(a + 6)^3 - 27;$

2) $(2x - 1)^3 + 64;$

3) $8a^6 - (4a - 3)^3;$

4) $1000 + (y - 10)^3;$

5) $(x + y)^3 - (x - y)^3;$

6) $(a - 2)^3 + (a + 2)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данного задания используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(a + 6)^3 - 27$

Представим данное выражение в виде разности кубов, где $a$ в формуле равно $(a+6)$, а $b$ равно $3$, так как $27 = 3^3$.

$(a + 6)^3 - 3^3 = ((a + 6) - 3)((a + 6)^2 + (a + 6) \cdot 3 + 3^2)$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(a + 6) - 3 = a + 3$

Второй множитель: $(a + 6)^2 + 3(a + 6) + 9 = (a^2 + 12a + 36) + (3a + 18) + 9 = a^2 + 12a + 3a + 36 + 18 + 9 = a^2 + 15a + 63$

Таким образом, разложение на множители имеет вид:

$(a + 3)(a^2 + 15a + 63)$

Ответ: $(a + 3)(a^2 + 15a + 63)$.

2) $(2x - 1)^3 + 64$

Представим выражение в виде суммы кубов, где $a = (2x - 1)$ и $b = 4$, так как $64 = 4^3$.

$(2x - 1)^3 + 4^3 = ((2x - 1) + 4)((2x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 4 + 4^2)$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $2x - 1 + 4 = 2x + 3$

Второй множитель: $(2x - 1)^2 - 4(2x - 1) + 16 = (4x^2 - 4x + 1) - (8x - 4) + 16 = 4x^2 - 4x + 1 - 8x + 4 + 16 = 4x^2 - 12x + 21$

Результат разложения:

$(2x + 3)(4x^2 - 12x + 21)$

Ответ: $(2x + 3)(4x^2 - 12x + 21)$.

3) $8a^6 - (4a - 3)^3$

Представим выражение в виде разности кубов. Заметим, что $8a^6 = (2a^2)^3$. Тогда $a = 2a^2$ и $b = (4a - 3)$.

$(2a^2)^3 - (4a - 3)^3 = (2a^2 - (4a - 3))((2a^2)^2 + 2a^2(4a - 3) + (4a - 3)^2)$

Упростим множители:

Первый множитель: $2a^2 - 4a + 3$

Второй множитель: $4a^4 + (8a^3 - 6a^2) + (16a^2 - 24a + 9) = 4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9$

Результат разложения:

$(2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9)$

Ответ: $(2a^2 - 4a + 3)(4a^4 + 8a^3 + 10a^2 - 24a + 9)$.

4) $1000 + (y - 10)^3$

Представим выражение как сумму кубов. $1000 = 10^3$. Тогда $a = 10$ и $b = (y - 10)$.

$10^3 + (y - 10)^3 = (10 + (y - 10))(10^2 - 10(y - 10) + (y - 10)^2)$

Упростим множители:

Первый множитель: $10 + y - 10 = y$

Второй множитель: $100 - (10y - 100) + (y^2 - 20y + 100) = 100 - 10y + 100 + y^2 - 20y + 100 = y^2 - 30y + 300$

Результат разложения:

$y(y^2 - 30y + 300)$

Ответ: $y(y^2 - 30y + 300)$.

5) $(x + y)^3 - (x - y)^3$

Применим формулу разности кубов, где $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$.

$((x + y) - (x - y))((x + y)^2 + (x + y)(x - y) + (x - y)^2)$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $x + y - x + y = 2y$

Второй множитель: $(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = (x^2 + x^2 + x^2) + (2xy - 2xy) + (y^2 - y^2 + y^2) = 3x^2 + y^2$

Результат разложения:

$2y(3x^2 + y^2)$

Ответ: $2y(3x^2 + y^2)$.

6) $(a - 2)^3 + (a + 2)^3$

Применим формулу суммы кубов, где $a = (a - 2)$ и $b = (a + 2)$.

$((a - 2) + (a + 2))((a - 2)^2 - (a - 2)(a + 2) + (a + 2)^2)$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $a - 2 + a + 2 = 2a$

Второй множитель: $(a^2 - 4a + 4) - (a^2 - 4) + (a^2 + 4a + 4) = a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4 + a^2 + 4a + 4 = (a^2 - a^2 + a^2) + (-4a + 4a) + (4 + 4 + 4) = a^2 + 12$

Результат разложения:

$2a(a^2 + 12)$

Ответ: $2a(a^2 + 12)$.