Номер 684, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 684, страница 119.

Условие.

684. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(b-5)^3 + 125;$

2) $(4-3x)^3 - 8x^3;$

3) $(a-b)^3 + (a+b)^3;$

4) $(c+3)^3 - (c-3)^3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
• Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $(b-5)^3 + 125$

Представим выражение в виде суммы кубов, где $a = b-5$, а $b = 5$, так как $125 = 5^3$.

Применим формулу суммы кубов:

$(b-5)^3 + 5^3 = ((b-5)+5)((b-5)^2 - (b-5)\cdot5 + 5^2)$

Упростим первую скобку:

$b-5+5 = b$

Упростим вторую скобку:

$(b-5)^2 - 5(b-5) + 25 = (b^2 - 10b + 25) - (5b - 25) + 25 = b^2 - 10b + 25 - 5b + 25 + 25 = b^2 - 15b + 75$

Таким образом, произведение имеет вид:

$b(b^2 - 15b + 75)$

Ответ: $b(b^2 - 15b + 75)$.

2) $(4-3x)^3 - 8x^3$

Представим выражение в виде разности кубов, где $a = 4-3x$, а $b = 2x$, так как $8x^3 = (2x)^3$.

Применим формулу разности кубов:

$(4-3x)^3 - (2x)^3 = ((4-3x)-2x)((4-3x)^2 + (4-3x)\cdot2x + (2x)^2)$

Упростим первую скобку:

$4-3x-2x = 4-5x$

Упростим вторую скобку:

$(16 - 24x + 9x^2) + (8x - 6x^2) + 4x^2 = 16 - 24x + 9x^2 + 8x - 6x^2 + 4x^2 = 7x^2 - 16x + 16$

Таким образом, произведение имеет вид:

$(4 - 5x)(7x^2 - 16x + 16)$

Ответ: $(4 - 5x)(7x^2 - 16x + 16)$.

3) $(a-b)^3 + (a+b)^3$

Это сумма кубов, где первое слагаемое $a_{expr} = a-b$, а второе $b_{expr} = a+b$.

Применим формулу суммы кубов:

$((a-b)+(a+b))((a-b)^2 - (a-b)(a+b) + (a+b)^2)$

Упростим первую скобку:

$a-b+a+b = 2a$

Упростим вторую скобку:

$(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) = a^2 - 2ab + b^2 - a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + 3b^2$

Таким образом, произведение имеет вид:

$2a(a^2 + 3b^2)$

Ответ: $2a(a^2 + 3b^2)$.

4) $(c+3)^3 - (c-3)^3$

Это разность кубов, где $a = c+3$, а $b = c-3$.

Применим формулу разности кубов:

$((c+3)-(c-3))((c+3)^2 + (c+3)(c-3) + (c-3)^2)$

Упростим первую скобку:

$c+3-c+3 = 6$

Упростим вторую скобку:

$(c^2 + 6c + 9) + (c^2 - 9) + (c^2 - 6c + 9) = c^2 + 6c + 9 + c^2 - 9 + c^2 - 6c + 9 = 3c^2 + 9$

Таким образом, произведение имеет вид:

$6(3c^2 + 9) = 6 \cdot 3(c^2 + 3) = 18(c^2 + 3)$

Ответ: $18(c^2 + 3)$.