Номер 689, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 689, страница 120.

Условие.

689. Решите уравнение:

1) $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) + 2x(2x - 5)(2x + 5) = 43;$

2) $100(0,2x + 1)(0,04x^2 - 0,2x + 1) = 5x(0,16x^2 - 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) + 2x(2x - 5)(2x + 5) = 43$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Первое слагаемое $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2)$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a = 7$ и $b = 2x$.

Проверим: $a^2 = 7^2 = 49$, $ab = 7 \cdot 2x = 14x$, $b^2 = (2x)^2 = 4x^2$.

Следовательно, $(7 - 2x)(49 + 14x + 4x^2) = 7^3 - (2x)^3 = 343 - 8x^3$.

Второе слагаемое $2x(2x - 5)(2x + 5)$ содержит произведение, которое является разностью квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. В нашем случае $a = 2x$ и $b = 5$.

Следовательно, $(2x - 5)(2x + 5) = (2x)^2 - 5^2 = 4x^2 - 25$.

Тогда второе слагаемое равно $2x(4x^2 - 25) = 8x^3 - 50x$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(343 - 8x^3) + (8x^3 - 50x) = 43$.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$343 - 8x^3 + 8x^3 - 50x = 43$.

$343 - 50x = 43$.

Перенесем 343 в правую часть уравнения:

$-50x = 43 - 343$.

$-50x = -300$.

Разделим обе части на -50, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-300}{-50} = 6$.

Ответ: $6$.

2) $100(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1) = 5x(0.16x^2 - 4)$

Для решения этого уравнения также воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Рассмотрим левую часть уравнения: $100(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1)$. Выражение в скобках является суммой кубов. Воспользуемся формулой $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a = 0.2x$ и $b = 1$.

Проверим: $a^2 = (0.2x)^2 = 0.04x^2$, $ab = 0.2x \cdot 1 = 0.2x$, $b^2 = 1^2 = 1$.

Следовательно, $(0.2x + 1)(0.04x^2 - 0.2x + 1) = (0.2x)^3 + 1^3 = 0.008x^3 + 1$.

Тогда левая часть уравнения равна $100(0.008x^3 + 1) = 0.8x^3 + 100$.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: $5x(0.16x^2 - 4)$. Раскроем скобки:

$5x \cdot 0.16x^2 - 5x \cdot 4 = 0.8x^3 - 20x$.

Приравняем упрощенные левую и правую части уравнения:

$0.8x^3 + 100 = 0.8x^3 - 20x$.

Вычтем $0.8x^3$ из обеих частей уравнения:

$100 = -20x$.

Разделим обе части на -20, чтобы найти $x$:

$x = \frac{100}{-20} = -5$.

Ответ: $-5$.