Номер 695, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 695, страница 120.

Условие.

695. Докажите, что сумма кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 4.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть даны два последовательных нечётных натуральных числа. Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2n-1$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда следующее за ним нечётное число будет $(2n-1) + 2 = 2n+1$.

Требуется доказать, что сумма их кубов, то есть выражение $(2n-1)^3 + (2n+1)^3$, делится нацело на 4.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 2n-1$ и $b = 2n+1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(2n-1)^3 + (2n+1)^3 = ((2n-1)+(2n+1)) \cdot ((2n-1)^2 - (2n-1)(2n+1) + (2n+1)^2)$

Вычислим значение первого множителя в правой части равенства:

$(2n-1)+(2n+1) = 2n - 1 + 2n + 1 = 4n$

Таким образом, всё выражение можно переписать в виде:

$4n \cdot ((2n-1)^2 - (2n-1)(2n+1) + (2n+1)^2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $2n-1$ и $2n+1$ являются целыми числами. Квадраты и произведения целых чисел также являются целыми числами. Следовательно, второй множитель $((2n-1)^2 - (2n-1)(2n+1) + (2n+1)^2)$ является целым числом.

В результате мы получили произведение, в котором один из множителей ($4n$) делится нацело на 4. Это означает, что и всё произведение делится нацело на 4.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.