Номер 696, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 696, страница 120.

Условие.

696. Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть даны два последовательных натуральных числа, которые мы обозначим как $n$ и $n+1$.

По условию задачи ни одно из этих чисел не делится на 3. Любое натуральное число при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2. Рассмотрим все возможные случаи для числа $n$.

1. Если $n$ делится на 3 (остаток 0), это противоречит условию.

2. Если $n$ дает остаток 2 при делении на 3, то его можно представить как $n = 3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда следующее число будет $n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$, что означает, что $n+1$ делится на 3. Этот случай также противоречит условию.

3. Если $n$ дает остаток 1 при делении на 3, то его можно представить как $n = 3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$. Тогда следующее число будет $n+1 = (3k+1)+1 = 3k+2$. Число $n+1$ при делении на 3 дает остаток 2. В этом случае ни $n$, ни $n+1$ не делятся на 3. Этот случай полностью удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, два последовательных натуральных числа, не кратных 3, должны иметь вид $3k+1$ и $3k+2$.

Теперь найдем сумму их кубов $S$:

$S = (3k+1)^3 + (3k+2)^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 3k+1$ и $b = 3k+2$.

Найдем первый множитель $(a+b)$:

$a+b = (3k+1) + (3k+2) = 6k+3 = 3(2k+1)$

Найдем второй множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$(3k+1)^2 - (3k+1)(3k+2) + (3k+2)^2$

Раскроем скобки:

$(9k^2+6k+1) - (9k^2+6k+9k+2) + (9k^2+12k+4)$

$(9k^2+6k+1) - (9k^2+15k+2) + (9k^2+12k+4)$

Приведем подобные слагаемые:

$(9-9+9)k^2 + (6-15+12)k + (1-2+4) = 9k^2 + 3k + 3$

Вынесем общий множитель 3:

$9k^2 + 3k + 3 = 3(3k^2 + k + 1)$

Теперь перемножим оба полученных выражения, чтобы найти $S$:

$S = [3(2k+1)] \cdot [3(3k^2+k+1)] = 9(2k+1)(3k^2+k+1)$

Поскольку $k$ является целым числом, то произведение $(2k+1)(3k^2+k+1)$ также является целым числом. Это означает, что сумма $S$ является произведением 9 на целое число, следовательно, $S$ всегда делится нацело на 9. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9, доказано.