Номер 700, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 700, страница 121.

Условие.

700. Докажите, что если $a + 3b = 2$, то $a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства воспользуемся данным нам равенством $a + 3b = 2$.

Возведем обе части этого равенства в третью степень (в куб):

$(a + 3b)^3 = 2^3$

Для раскрытия скобок в левой части применим формулу куба суммы двух выражений: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$. Эту формулу также можно записать в виде $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$. Воспользуемся второй формой, так как она удобнее для данного случая.

Подставим в формулу $x = a$ и $y = 3b$:

$a^3 + (3b)^3 + 3 \cdot a \cdot (3b) \cdot (a + 3b) = 8$

Выполним упрощение:

$a^3 + 27b^3 + 9ab(a + 3b) = 8$

Теперь в полученное выражение подставим значение суммы $(a + 3b)$, которое нам известно из условия задачи: $a + 3b = 2$.

$a^3 + 27b^3 + 9ab \cdot (2) = 8$

$a^3 + 27b^3 + 18ab = 8$

Чтобы получить требуемое равенство, перенесем слагаемое $18ab$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$

Таким образом, мы доказали, что если $a + 3b = 2$, то $a^3 + 27b^3 = 8 - 18ab$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.