Номер 698, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 698, страница 121.

Условие.

698. Известно, что числа x и y таковы, что $x^3 - y^2 = 2$. Найдите значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи нам дано равенство $x^3 - y^2 = 2$. Необходимо найти значение выражения $x^9 - 6x^3y^2 - y^6$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановки. Сначала выразим $y^2$ из данного равенства:

$y^2 = x^3 - 2$

Теперь подставим это выражение в то, значение которого нам нужно найти. Заметим, что $y^6$ можно представить как $(y^2)^3$.

Выражение принимает вид:

$x^9 - 6x^3(x^3 - 2) - (x^3 - 2)^3$

Теперь раскроем скобки. Для третьего слагаемого используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, где $a = x^3$ и $b = 2$.

$(x^3 - 2)^3 = (x^3)^3 - 3 \cdot (x^3)^2 \cdot 2 + 3 \cdot x^3 \cdot 2^2 - 2^3 = x^9 - 6x^6 + 12x^3 - 8$

Подставим результат обратно в наше выражение и раскроем остальные скобки:

$x^9 - 6x^3(x^3 - 2) - (x^9 - 6x^6 + 12x^3 - 8)$

$x^9 - 6x^6 + 12x^3 - x^9 + 6x^6 - 12x^3 + 8$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(x^9 - x^9) + (-6x^6 + 6x^6) + (12x^3 - 12x^3) + 8$

$0 + 0 + 0 + 8 = 8$

Таким образом, значение искомого выражения не зависит от $x$ и $y$ и всегда равно 8.

Ответ: 8