Номер 691, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 691, страница 120.

Условие.

691. Докажите, что значение выражения:

1) $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90;

2) $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы доказать, что выражение $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 341$ и $b = 109$.

Применим формулу к нашему выражению:

$341^3 + 109^3 = (341 + 109)(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$

Найдем значение первого множителя (суммы в первых скобках):

$341 + 109 = 450$

Теперь выражение можно записать в следующем виде:

$450 \cdot (341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$

Для того чтобы доказать, что исходное выражение делится на 90, достаточно показать, что один из его множителей делится на 90. Проверим, делится ли 450 на 90:

$450 \div 90 = 5$

Поскольку 450 делится на 90, а второй множитель $(341^2 - 341 \cdot 109 + 109^2)$ является целым числом, то и все произведение делится на 90. Таким образом, доказано, что значение выражения $341^3 + 109^3$ делится нацело на 90.

Ответ: Доказано.

2)

Чтобы доказать, что выражение $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35, преобразуем его так, чтобы можно было применить формулу суммы кубов.

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, чтобы представить $2^{15}$ в виде куба некоторого числа:

$2^{15} = 2^{5 \cdot 3} = (2^5)^3$

Вычислим значение $2^5$:

$2^5 = 32$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде суммы кубов:

$(2^5)^3 + 3^3 = 32^3 + 3^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = 32$ и $b = 3$:

$32^3 + 3^3 = (32 + 3)(32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$32 + 3 = 35$

Получаем следующее выражение:

$35 \cdot (32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$

Так как один из множителей равен 35, а второй множитель $(32^2 - 32 \cdot 3 + 3^2)$ является целым числом, то все произведение делится нацело на 35. Следовательно, доказано, что значение выражения $2^{15} + 3^3$ делится нацело на 35.

Ответ: Доказано.