Номер 687, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 687, страница 120.

Условие.

687. Поставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) $(7k - p)(* + * + *) = 343k^3 - p^3;$

2) $(* + *)(25a^4 - * + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3;$

3) $(mn + *)(* - * + k^6) = m^3n^3 + k^9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

1) $(7k - p)(* + * + *) = 343k^3 - p^3$

Правая часть этого тождества представляет собой разность кубов. Представим ее в виде $(7k)^3 - p^3$.

Сравнивая с формулой $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, мы можем определить, что $a = 7k$ и $b = p$.

Первый множитель в левой части, $(7k - p)$, уже соответствует $(a - b)$.

Второй множитель должен соответствовать выражению $a^2 + ab + b^2$ (неполный квадрат суммы).

Найдем одночлены, которые нужно подставить вместо звёздочек во второй скобке:

• Первый член: $a^2 = (7k)^2 = 49k^2$.
• Второй член: $ab = (7k)(p) = 7kp$.
• Третий член: $b^2 = p^2$.

Таким образом, тождество принимает вид: $(7k - p)(49k^2 + 7kp + p^2) = 343k^3 - p^3$.

Ответ: $(7k - p)(49k^2 + 7kp + p^2) = 343k^3 - p^3$.

2) $(* + *)(25a^4 - * + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$

Правая часть этого тождества является суммой кубов. Представим ее в виде $(5a^2)^3 + (6b)^3$.

Сравнивая с формулой $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, мы можем определить, что $a = 5a^2$ и $b = 6b$.

Первый множитель в левой части должен соответствовать $(a + b)$, то есть $(5a^2 + 6b)$.

Второй множитель должен соответствовать $(a^2 - ab + b^2)$ (неполный квадрат разности).

Проверим известные члены во втором множителе:

• $a^2 = (5a^2)^2 = 25a^4$ (совпадает с первым членом).
• $b^2 = (6b)^2 = 36b^2$ (совпадает с третьим членом).

Теперь найдем недостающий средний член:

• $-ab = -(5a^2)(6b) = -30a^2b$.

Таким образом, тождество принимает вид: $(5a^2 + 6b)(25a^4 - 30a^2b + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$.

Ответ: $(5a^2 + 6b)(25a^4 - 30a^2b + 36b^2) = 125a^6 + 216b^3$.

3) $(mn + *)(* - * + k^6) = m^3n^3 + k^9$

Правая часть этого тождества является суммой кубов. Представим ее в виде $(mn)^3 + (k^3)^3$.

Сравнивая с формулой $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, мы можем определить, что $a = mn$ и $b = k^3$.

Первый множитель в левой части должен быть $(a + b)$, то есть $(mn + k^3)$. Значит, первая звёздочка — это $k^3$.

Второй множитель должен быть $(a^2 - ab + b^2)$.

Найдем одночлены для второго множителя:

• Первый член: $a^2 = (mn)^2 = m^2n^2$.
• Второй член: $-ab = -(mn)(k^3) = -mnk^3$.
• Третий член: $b^2 = (k^3)^2 = k^6$ (совпадает с данным).

Таким образом, тождество принимает вид: $(mn + k^3)(m^2n^2 - mnk^3 + k^6) = m^3n^3 + k^9$.

Ответ: $(mn + k^3)(m^2n^2 - mnk^3 + k^6) = m^3n^3 + k^9$.