Номер 686, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 686, страница 120.

Условие.

686. Упростите выражение:

1) $(a - 5)(a^2 + 5a + 25) - (a - 1)(a^2 + a + 1);$

2) $(y - 3)(y^2 + 3y + 9) - y(y - 3)(y + 3) - (y + 3)^2;$

3) $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(a - 5)(a^2 + 5a + 25) - (a - 1)(a^2 + a + 1)$

Данное выражение состоит из двух частей, каждая из которых является формулой сокращенного умножения для разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Рассмотрим первую часть: $(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$. Здесь $x=a$ и $y=5$. Применяя формулу, получаем:

$(a - 5)(a^2 + a \cdot 5 + 5^2) = a^3 - 5^3 = a^3 - 125$.

Рассмотрим вторую часть: $(a - 1)(a^2 + a + 1)$. Здесь $x=a$ и $y=1$. Применяя формулу, получаем:

$(a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = a^3 - 1^3 = a^3 - 1$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(a^3 - 125) - (a^3 - 1) = a^3 - 125 - a^3 + 1 = (a^3 - a^3) + (-125 + 1) = -124$.

Ответ: $-124$.

2) $(y - 3)(y^2 + 3y + 9) - y(y - 3)(y + 3) - (y + 3)^2$

Упростим выражение по частям.

Первое слагаемое $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ является формулой разности кубов:

$y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.

Второе слагаемое $-y(y - 3)(y + 3)$ содержит формулу разности квадратов $(y - 3)(y + 3) = y^2 - 3^2 = y^2 - 9$. Тогда:

$-y(y^2 - 9) = -y^3 + 9y$.

Третье слагаемое $-(y + 3)^2$ раскрывается по формуле квадрата суммы:

$-(y^2 + 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2) = -(y^2 + 6y + 9) = -y^2 - 6y - 9$.

Теперь объединим все упрощенные части:

$(y^3 - 27) + (-y^3 + 9y) + (-y^2 - 6y - 9) = y^3 - 27 - y^3 + 9y - y^2 - 6y - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$(y^3 - y^3) - y^2 + (9y - 6y) + (-27 - 9) = 0 - y^2 + 3y - 36 = -y^2 + 3y - 36$.

Ответ: $-y^2 + 3y - 36$.

3) $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Теперь выражение имеет вид:

$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$.

Полученное выражение является формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=a^2$ и $y=b^2$. Проверим вторую скобку: $x^2 = (a^2)^2 = a^4$, $xy = a^2 \cdot b^2 = a^2b^2$, $y^2 = (b^2)^2 = b^4$. Всё сходится.

Таким образом, применяем формулу:

$(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$.

Ответ: $a^6 - b^6$.