Номер 679, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 679, страница 119.

Условие.

679. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(x - 2)(x^2 + 2x + 4);$

2) $(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1);$

3) $(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1);$

4) $(0.5xy + 2)(0.25x^2y^2 - xy + 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$
• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$

1)

Выражение $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ соответствует формуле разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В данном случае $A = x$ и $B = 2$. Проверим вторую скобку: $A^2 + AB + B^2 = x^2 + x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 2x + 4$. Выражение совпадает с условием.

Следовательно, применяем формулу:

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Ответ: $x^3 - 8$

2)

Выражение $(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)$ также соответствует формуле разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Здесь $A = 2a$ и $B = 1$. Проверим вторую скобку: $A^2 + AB + B^2 = (2a)^2 + (2a) \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 2a + 1$. Выражение совпадает с условием.

Применяем формулу:

$(2a - 1)(4a^2 + 2a + 1) = (2a)^3 - 1^3 = 8a^3 - 1$.

Ответ: $8a^3 - 1$

3)

Выражение $(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)$ соответствует формуле суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В данном случае $A = a^2$ и $B = 1$. Проверим вторую скобку: $A^2 - AB + B^2 = (a^2)^2 - (a^2) \cdot 1 + 1^2 = a^4 - a^2 + 1$. Выражение совпадает с условием.

Применяем формулу:

$(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1) = (a^2)^3 + 1^3 = a^6 + 1$.

Ответ: $a^6 + 1$

4)

Выражение $(0.5xy + 2)(0.25x^2y^2 - xy + 4)$ также соответствует формуле суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

Здесь $A = 0.5xy$ и $B = 2$. Проверим вторую скобку: $A^2 - AB + B^2 = (0.5xy)^2 - (0.5xy) \cdot 2 + 2^2 = 0.25x^2y^2 - xy + 4$. Выражение совпадает с условием.

Применяем формулу:

$(0.5xy + 2)(0.25x^2y^2 - xy + 4) = (0.5xy)^3 + 2^3 = 0.125x^3y^3 + 8$.

Ответ: $0.125x^3y^3 + 8$