Номер 4, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 18 - номер 4, страница 118.

Условие.

4. Какое тождество называют формулой разности кубов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Формулой разности кубов называют тождество, которое выражает разность кубов двух чисел или выражений через произведение их разности на неполный квадрат их суммы. Эта формула является одной из ключевых в курсе алгебры и относится к формулам сокращенного умножения.

Записывается формула следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Словесная формулировка данного тождества звучит так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Множитель $(a^2 + ab + b^2)$ называется «неполным квадратом суммы», потому что полный квадрат суммы $(a + b)^2$ равен $a^2 + 2ab + b^2$ и содержит удвоенное произведение, в то время как в формуле разности кубов используется простое произведение $ab$.

Доказательство

Чтобы доказать это тождество, необходимо раскрыть скобки в правой части формулы и убедиться, что она равна левой части. Выполним умножение многочлена $(a - b)$ на многочлен $(a^2 + ab + b^2)$:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

$= (a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2) - (b \cdot a^2 + b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

После приведения подобных членов ($a^2b$ и $-a^2b$, а также $ab^2$ и $-ab^2$) получим:

$= a^3 - b^3$

Таким образом, правая часть тождества равна левой, что и требовалось доказать.

Ответ: Формулой разности кубов называют тождество $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.