Номер 1, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 18 - номер 1, страница 118.

Условие.

1. Какое тождество называют формулой суммы кубов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

1. Формулой суммы кубов называют тождество, которое используется для разложения на множители выражения, представляющего собой сумму кубов двух чисел или выражений. Эта формула является одной из формул сокращенного умножения.

Словесная формулировка тождества звучит так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

В общем виде формула записывается следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Здесь $a$ и $b$ могут быть любыми числами, переменными или алгебраическими выражениями. Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядит как $a^2 - 2ab + b^2$.

Доказательство тождества:

Для доказательства справедливости этой формулы достаточно раскрыть скобки в правой части выражения и убедиться, что она тождественно равна левой части. Для этого умножим многочлен $(a+b)$ на многочлен $(a^2 - ab + b^2)$:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2$

Выполним умножение:

$a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $-a^2b$ и $+a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $+ab^2$ и $-ab^2$:

$a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

Таким образом, мы получили, что правая часть тождества равна левой: $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Формулой суммы кубов называют тождество $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.