Номер 676, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 676, страница 118.

Условие.

676. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$;

2) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$;

3) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$;

4) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы определить, какое из данных равенств является тождеством, необходимо разложить выражение в левой части, $m^3 + 8n^6$, на множители. Для этого воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Сначала представим каждый член выражения $m^3 + 8n^6$ в виде куба:

• $m^3 = (m)^3$
• $8n^6 = 2^3 \cdot (n^2)^3 = (2n^2)^3$

Таким образом, выражение можно записать как сумму кубов: $m^3 + 8n^6 = (m)^3 + (2n^2)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a = m$ и $b = 2n^2$:

$(m)^3 + (2n^2)^3 = (m + 2n^2)(m^2 - m \cdot 2n^2 + (2n^2)^2) = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$.

Теперь проверим каждое из предложенных равенств.

1) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$

Это равенство неверно. Согласно формуле суммы кубов, средний член во второй скобке должен быть с отрицательным знаком ($-ab$), а здесь он положительный ($+2mn^2$). Если раскрыть скобки в правой части, получим:$(m + 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4) = m^3 + 2m^2n^2 + 4mn^4 + 2m^2n^2 + 4mn^4 + 8n^6 = m^3 + 4m^2n^2 + 8mn^4 + 8n^6$, что не равно $m^3 + 8n^6$.

Ответ: данное равенство не является тождеством.

2) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 + 2mn^2 + 4n^4)$

Это равенство неверно. Правая часть представляет собой разложение разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Для $a = m$ и $b = 2n^2$ правая часть равна $m^3 - (2n^2)^3 = m^3 - 8n^6$. Так как $m^3 - 8n^6 \neq m^3 + 8n^6$, равенство не является тождеством.

Ответ: данное равенство не является тождеством.

3) $m^3 + 8n^6 = (m + 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$

Это равенство верно. Правая часть в точности совпадает с результатом разложения $m^3 + 8n^6$ на множители по формуле суммы кубов, который мы получили ранее.

Ответ: данное равенство является тождеством.

4) $m^3 + 8n^6 = (m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4)$

Это равенство неверно. Раскроем скобки в правой части для проверки:$(m - 2n^2)(m^2 - 2mn^2 + 4n^4) = m^3 - 2m^2n^2 + 4mn^4 - 2m^2n^2 + 4mn^4 - 8n^6 = m^3 - 4m^2n^2 + 8mn^4 - 8n^6$, что не равно $m^3 + 8n^6$.

Ответ: данное равенство не является тождеством.