Номер 678, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 678, страница 119.

Условие.

678. Разложите на множители:

1) $x^3 - 1$;

2) $27 + a^3$;

3) $216 - y^3$;

4) $\frac{1}{8}a^3 + b^3$;

5) $a^6 - 8$;

6) $a^3b^3 - c^3$;

7) $a^3 - b^{15}c^{18}$;

8) $125c^3d^3 + 0,008b^3$;

9) $\frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этих задач используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $x^3 - 1$
Применяем формулу разности кубов, где $a = x$ и $b = 1$:
$x^3 - 1^3 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2) = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.
Ответ: $(x - 1)(x^2 + x + 1)$.

2) $27 + a^3$
Представим $27$ как $3^3$ и применим формулу суммы кубов, где $a=3$, $b=a$:
$3^3 + a^3 = (3 + a)(3^2 - 3 \cdot a + a^2) = (3 + a)(9 - 3a + a^2)$.
Ответ: $(3 + a)(9 - 3a + a^2)$.

3) $216 - y^3$
Представим $216$ как $6^3$ и применим формулу разности кубов, где $a=6$, $b=y$:
$6^3 - y^3 = (6 - y)(6^2 + 6 \cdot y + y^2) = (6 - y)(36 + 6y + y^2)$.
Ответ: $(6 - y)(36 + 6y + y^2)$.

4) $\frac{1}{8}a^3 + b^3$
Представим $\frac{1}{8}a^3$ как $(\frac{1}{2}a)^3$ и применим формулу суммы кубов, где $a_{form} = \frac{1}{2}a$, $b_{form} = b$:
$(\frac{1}{2}a)^3 + b^3 = (\frac{1}{2}a + b)((\frac{1}{2}a)^2 - \frac{1}{2}a \cdot b + b^2) = (\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}a + b)(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{2}ab + b^2)$.

5) $a^6 - 8$
Представим выражение как разность кубов: $a^6 = (a^2)^3$ и $8 = 2^3$. Применяем формулу, где $a = a^2$, $b=2$:
$(a^2)^3 - 2^3 = (a^2 - 2)((a^2)^2 + a^2 \cdot 2 + 2^2) = (a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.
Ответ: $(a^2 - 2)(a^4 + 2a^2 + 4)$.

6) $a^3b^3 - c^3$
Представим $a^3b^3$ как $(ab)^3$ и применим формулу разности кубов, где $a=ab$, $b=c$:
$(ab)^3 - c^3 = (ab - c)((ab)^2 + ab \cdot c + c^2) = (ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2)$.
Ответ: $(ab - c)(a^2b^2 + abc + c^2)$.

7) $a^3 - b^{15}c^{18}$
Представим $b^{15}c^{18}$ как куб выражения: $b^{15}c^{18} = (b^5)^3(c^6)^3 = (b^5c^6)^3$. Применяем формулу разности кубов, где $a=a$, $b=b^5c^6$:
$a^3 - (b^5c^6)^3 = (a - b^5c^6)(a^2 + a(b^5c^6) + (b^5c^6)^2) = (a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12})$.
Ответ: $(a - b^5c^6)(a^2 + ab^5c^6 + b^{10}c^{12})$.

8) $125c^3d^3 + 0,008b^3$
Представим слагаемые в виде кубов: $125c^3d^3 = (5cd)^3$ и $0,008b^3 = (0.2b)^3$. Применяем формулу суммы кубов, где $a=5cd$, $b=0.2b$:
$(5cd)^3 + (0.2b)^3 = (5cd + 0.2b)((5cd)^2 - (5cd)(0.2b) + (0.2b)^2) = (5cd + 0.2b)(25c^2d^2 - bcd + 0.04b^2)$.
Ответ: $(5cd + 0.2b)(25c^2d^2 - bcd + 0.04b^2)$.

9) $\frac{64}{729}x^3 - \frac{27}{1000}y^6$
Представим слагаемые в виде кубов: $\frac{64}{729}x^3 = (\frac{4}{9}x)^3$ и $\frac{27}{1000}y^6 = (\frac{3}{10}y^2)^3$. Применяем формулу разности кубов, где $a=\frac{4}{9}x$, $b=\frac{3}{10}y^2$:
$(\frac{4}{9}x)^3 - (\frac{3}{10}y^2)^3 = (\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)((\frac{4}{9}x)^2 + (\frac{4}{9}x)(\frac{3}{10}y^2) + (\frac{3}{10}y^2)^2) = (\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{12}{90}xy^2 + \frac{9}{100}y^4) = (\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4)$.
Ответ: $(\frac{4}{9}x - \frac{3}{10}y^2)(\frac{16}{81}x^2 + \frac{2}{15}xy^2 + \frac{9}{100}y^4)$.