Номер 677, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 677, страница 119.

Условие.

677. Разложите на множители:

1) $a^3 + 8;$

2) $c^3 - 64;$

3) $125 - b^3;$

4) $1 + x^3;$

5) $a^3 + 1000;$

6) $27a^3 - 1;$

7) $1000c^3 - 216;$

8) $a^3b^3 - 1;$

9) $m^3n^3 + 0,001;$

10) $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3;$

11) $8m^6 + 27n^9;$

12) $m^6n^3 - p^{12};$

13) $0,027x^{21} + 0,125y^{24};$

14) $0,216 - 8c^{27};$

15) $1000a^{12}b^3 + 0,001c^6d^{15}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:
Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

1) $a^3 + 8$
Представим выражение в виде суммы кубов: $a^3 + 8 = a^3 + 2^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $a$, а $b$ — это $2$:
$a^3 + 2^3 = (a + 2)(a^2 - a \cdot 2 + 2^2) = (a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.
Ответ: $(a + 2)(a^2 - 2a + 4)$.

2) $c^3 - 64$
Представим выражение в виде разности кубов: $c^3 - 64 = c^3 - 4^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $c$, а $b$ — это $4$:
$c^3 - 4^3 = (c - 4)(c^2 + c \cdot 4 + 4^2) = (c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.
Ответ: $(c - 4)(c^2 + 4c + 16)$.

3) $125 - b^3$
Представим выражение в виде разности кубов: $125 - b^3 = 5^3 - b^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $5$, а $b$ — это $b$:
$5^3 - b^3 = (5 - b)(5^2 + 5 \cdot b + b^2) = (5 - b)(25 + 5b + b^2)$.
Ответ: $(5 - b)(25 + 5b + b^2)$.

4) $1 + x^3$
Представим выражение в виде суммы кубов: $1 + x^3 = 1^3 + x^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $1$, а $b$ — это $x$:
$1^3 + x^3 = (1 + x)(1^2 - 1 \cdot x + x^2) = (1 + x)(1 - x + x^2)$.
Ответ: $(1 + x)(1 - x + x^2)$.

5) $a^3 + 1000$
Представим выражение в виде суммы кубов: $a^3 + 1000 = a^3 + 10^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $a$, а $b$ — это $10$:
$a^3 + 10^3 = (a + 10)(a^2 - a \cdot 10 + 10^2) = (a + 10)(a^2 - 10a + 100)$.
Ответ: $(a + 10)(a^2 - 10a + 100)$.

6) $27a^3 - 1$
Представим выражение в виде разности кубов: $27a^3 - 1 = (3a)^3 - 1^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $3a$, а $b$ — это $1$:
$(3a)^3 - 1^3 = (3a - 1)((3a)^2 + 3a \cdot 1 + 1^2) = (3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)$.
Ответ: $(3a - 1)(9a^2 + 3a + 1)$.

7) $1000c^3 - 216$
Представим выражение в виде разности кубов: $1000c^3 - 216 = (10c)^3 - 6^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $10c$, а $b$ — это $6$:
$(10c)^3 - 6^3 = (10c - 6)((10c)^2 + 10c \cdot 6 + 6^2) = (10c - 6)(100c^2 + 60c + 36)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки: $2(5c - 3) \cdot 4(25c^2 + 15c + 9) = 8(5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$.
Ответ: $8(5c - 3)(25c^2 + 15c + 9)$.

8) $a^3b^3 - 1$
Представим выражение в виде разности кубов: $a^3b^3 - 1 = (ab)^3 - 1^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $ab$, а $b$ — это $1$:
$(ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.
Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

9) $m^3n^3 + 0,001$
Представим выражение в виде суммы кубов: $m^3n^3 + 0,001 = (mn)^3 + (0,1)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $mn$, а $b$ — это $0,1$:
$(mn)^3 + (0,1)^3 = (mn + 0,1)((mn)^2 - mn \cdot 0,1 + (0,1)^2) = (mn + 0,1)(m^2n^2 - 0,1mn + 0,01)$.
Ответ: $(mn + 0,1)(m^2n^2 - 0,1mn + 0,01)$.

10) $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3$
Представим выражение в виде разности кубов: $\frac{64}{343}m^3 - \frac{125}{216}n^3 = (\frac{4}{7}m)^3 - (\frac{5}{6}n)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $\frac{4}{7}m$, а $b$ — это $\frac{5}{6}n$:
$(\frac{4}{7}m)^3 - (\frac{5}{6}n)^3 = (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)((\frac{4}{7}m)^2 + (\frac{4}{7}m)(\frac{5}{6}n) + (\frac{5}{6}n)^2) = (\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2)$.
Ответ: $(\frac{4}{7}m - \frac{5}{6}n)(\frac{16}{49}m^2 + \frac{10}{21}mn + \frac{25}{36}n^2)$.

11) $8m^6 + 27n^9$
Представим выражение в виде суммы кубов: $8m^6 + 27n^9 = (2m^2)^3 + (3n^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $2m^2$, а $b$ — это $3n^3$:
$(2m^2)^3 + (3n^3)^3 = (2m^2 + 3n^3)((2m^2)^2 - (2m^2)(3n^3) + (3n^3)^2) = (2m^2 + 3n^3)(4m^4 - 6m^2n^3 + 9n^6)$.
Ответ: $(2m^2 + 3n^3)(4m^4 - 6m^2n^3 + 9n^6)$.

12) $m^6n^3 - p^{12}$
Представим выражение в виде разности кубов: $m^6n^3 - p^{12} = (m^2n)^3 - (p^4)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $m^2n$, а $b$ — это $p^4$:
$(m^2n)^3 - (p^4)^3 = (m^2n - p^4)((m^2n)^2 + (m^2n)(p^4) + (p^4)^2) = (m^2n - p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)$.
Ответ: $(m^2n - p^4)(m^4n^2 + m^2np^4 + p^8)$.

13) $0,027x^{21} + 0,125y^{24}$
Представим выражение в виде суммы кубов: $0,027x^{21} + 0,125y^{24} = (0,3x^7)^3 + (0,5y^8)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $0,3x^7$, а $b$ — это $0,5y^8$:
$(0,3x^7)^3 + (0,5y^8)^3 = (0,3x^7 + 0,5y^8)((0,3x^7)^2 - (0,3x^7)(0,5y^8) + (0,5y^8)^2) = (0,3x^7 + 0,5y^8)(0,09x^{14} - 0,15x^7y^8 + 0,25y^{16})$.
Ответ: $(0,3x^7 + 0,5y^8)(0,09x^{14} - 0,15x^7y^8 + 0,25y^{16})$.

14) $0,216 - 8c^{27}$
Представим выражение в виде разности кубов: $0,216 - 8c^{27} = (0,6)^3 - (2c^9)^3$.
Применим формулу разности кубов, где $a$ — это $0,6$, а $b$ — это $2c^9$:
$(0,6)^3 - (2c^9)^3 = (0,6 - 2c^9)((0,6)^2 + (0,6)(2c^9) + (2c^9)^2) = (0,6 - 2c^9)(0,36 + 1,2c^9 + 4c^{18})$.
Ответ: $(0,6 - 2c^9)(0,36 + 1,2c^9 + 4c^{18})$.

15) $1000a^{12}b^3 + 0,001c^6d^{15}$
Представим выражение в виде суммы кубов: $1000a^{12}b^3 + 0,001c^6d^{15} = (10a^4b)^3 + (0,1c^2d^5)^3$.
Применим формулу суммы кубов, где $a$ — это $10a^4b$, а $b$ — это $0,1c^2d^5$:
$(10a^4b)^3 + (0,1c^2d^5)^3 = (10a^4b + 0,1c^2d^5)((10a^4b)^2 - (10a^4b)(0,1c^2d^5) + (0,1c^2d^5)^2) = (10a^4b + 0,1c^2d^5)(100a^8b^2 - a^4bc^2d^5 + 0,01c^4d^{10})$.
Ответ: $(10a^4b + 0,1c^2d^5)(100a^8b^2 - a^4bc^2d^5 + 0,01c^4d^{10})$.