Номер 681, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 681, страница 119.

Условие.

681. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$, если $a = \frac{1}{3}$;

2) $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) + 8$, если $y = -\frac{1}{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Сначала упростим выражение, используя формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

В выражении $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1)$ можно заметить, что $9a^2 = (3a)^2$, $3a = 3a \cdot 1$ и $1 = 1^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде $((3a)^2 + (3a) \cdot 1 + 1^2)(3a - 1)$, что соответствует формуле разности кубов для $x = 3a$ и $y = 1$.

Следовательно, $(9a^2 + 3a + 1)(3a - 1) = (3a)^3 - 1^3 = 27a^3 - 1$.

Теперь подставим значение $a = \frac{1}{3}$ в упрощенное выражение:

$27a^3 - 1 = 27 \cdot (\frac{1}{3})^3 - 1 = 27 \cdot \frac{1}{27} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Ответ: 0

2) Упростим выражение $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) + 8$.

Первая часть выражения, $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4)$, также является формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Здесь $x = 5y$ и $y = 2$. Проверим: $x^2 = (5y)^2 = 25y^2$, $xy = 5y \cdot 2 = 10y$, $y^2 = 2^2 = 4$.

Значит, $(5y - 2)(25y^2 + 10y + 4) = (5y)^3 - 2^3 = 125y^3 - 8$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(125y^3 - 8) + 8 = 125y^3 - 8 + 8 = 125y^3$.

Подставим значение $y = -\frac{1}{5}$ в упрощенное выражение:

$125y^3 = 125 \cdot (-\frac{1}{5})^3 = 125 \cdot (-\frac{1^3}{5^3}) = 125 \cdot (-\frac{1}{125}) = -1$.

Ответ: -1