Номер 675, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 675, страница 118.

Условие.

675. Какому из данных выражений тождественно равен многочлен

$a^3 - 27$:

1) $(a - 3)(a^2 + 6a + 9);$

2) $(a - 3)(a^2 - 9);$

3) $(a - 3)(a^2 - 3a + 9);$

4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы определить, какому из предложенных выражений тождественно равен многочлен $a^3 - 27$, можно использовать формулу сокращенного умножения для разности кубов или раскрыть скобки в каждом из вариантов.

Способ 1: Разложение многочлена на множители

Многочлен $a^3 - 27$ представляет собой разность кубов, так как $27$ можно представить как $3^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

В нашем случае $x = a$ и $y = 3$. Подставим эти значения в формулу:

$a^3 - 3^3 = (a - 3)(a^2 + a \cdot 3 + 3^2)$

Упростим выражение в правой части:

$(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$

Полученное выражение соответствует варианту ответа под номером 4.

Способ 2: Проверка каждого варианта путем раскрытия скобок

1) $(a - 3)(a^2 + 6a + 9) = a(a^2 + 6a + 9) - 3(a^2 + 6a + 9) = a^3 + 6a^2 + 9a - 3a^2 - 18a - 27 = a^3 + 3a^2 - 9a - 27$.
Результат не совпадает с $a^3 - 27$.

2) $(a - 3)(a^2 - 9) = a(a^2 - 9) - 3(a^2 - 9) = a^3 - 9a - 3a^2 + 27 = a^3 - 3a^2 - 9a + 27$.
Результат не совпадает с $a^3 - 27$.

3) $(a - 3)(a^2 - 3a + 9) = a(a^2 - 3a + 9) - 3(a^2 - 3a + 9) = a^3 - 3a^2 + 9a - 3a^2 + 9a - 27 = a^3 - 6a^2 + 18a - 27$.
Результат не совпадает с $a^3 - 27$.

4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9) = a(a^2 + 3a + 9) - 3(a^2 + 3a + 9) = a^3 + 3a^2 + 9a - 3a^2 - 9a - 27 = a^3 - 27$.
Результат тождественно равен исходному многочлену $a^3 - 27$.

Оба способа показывают, что правильным является вариант 4.

Ответ: 4) $(a - 3)(a^2 + 3a + 9)$.