Номер 680, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 680, страница 119.

Условие.

680. Выполните умножение:

1) $(b - 4)(b^2 + 4b + 16)$;

2) $(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$;

3) $(x^3 + 6y^2)(x^6 - 6x^3y^2 + 36y^4)$;

4) $(\frac{1}{4} a - \frac{1}{5} b)(\frac{1}{16} a^2 + \frac{1}{20} ab + \frac{1}{25} b^2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Выражение $(b - 4)(b^2 + 4b + 16)$ представляет собой произведение разности двух выражений на их неполный квадрат суммы. Это соответствует формуле сокращенного умножения для разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

В данном случае $a = b$ и $b = 4$. Проверим соответствие второго множителя: $a^2 = b^2$, $ab = b \cdot 4 = 4b$, $b^2 = 4^2 = 16$. Множитель $(b^2 + 4b + 16)$ совпадает с $(a^2 + ab + b^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу:

$(b - 4)(b^2 + 4b + 16) = b^3 - 4^3 = b^3 - 64$.

Ответ: $b^3 - 64$

2) Выражение $(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$ представляет собой произведение суммы двух выражений на их неполный квадрат разности. Это соответствует формуле сокращенного умножения для суммы кубов: $(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.

В данном случае $x = 2a$ и $y = 3b$. Проверим соответствие второго множителя: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$, $xy = (2a)(3b) = 6ab$, $y^2 = (3b)^2 = 9b^2$. Множитель $(4a^2 - 6ab + 9b^2)$ совпадает с $(x^2 - xy + y^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу:

$(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) = (2a)^3 + (3b)^3 = 8a^3 + 27b^3$.

Ответ: $8a^3 + 27b^3$

3) Выражение $(x^3 + 6y^2)(x^6 - 6x^3y^2 + 36y^4)$ соответствует формуле суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Здесь $a = x^3$ и $b = 6y^2$. Проверим соответствие второго множителя: $a^2 = (x^3)^2 = x^6$, $ab = (x^3)(6y^2) = 6x^3y^2$, $b^2 = (6y^2)^2 = 36y^4$. Множитель $(x^6 - 6x^3y^2 + 36y^4)$ совпадает с $(a^2 - ab + b^2)$.

Применяя формулу, получаем:

$(x^3 + 6y^2)(x^6 - 6x^3y^2 + 36y^4) = (x^3)^3 + (6y^2)^3 = x^9 + 216y^6$.

Ответ: $x^9 + 216y^6$

4) Выражение $(\frac{1}{4}a - \frac{1}{5}b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2)$ соответствует формуле разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Здесь $x = \frac{1}{4}a$ и $y = \frac{1}{5}b$. Проверим соответствие второго множителя: $x^2 = (\frac{1}{4}a)^2 = \frac{1}{16}a^2$, $xy = (\frac{1}{4}a)(\frac{1}{5}b) = \frac{1}{20}ab$, $y^2 = (\frac{1}{5}b)^2 = \frac{1}{25}b^2$. Множитель $(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2)$ совпадает с $(x^2 + xy + y^2)$.

Применяя формулу, получаем:

$(\frac{1}{4}a - \frac{1}{5}b)(\frac{1}{16}a^2 + \frac{1}{20}ab + \frac{1}{25}b^2) = (\frac{1}{4}a)^3 - (\frac{1}{5}b)^3 = \frac{1}{64}a^3 - \frac{1}{125}b^3$.

Ответ: $\frac{1}{64}a^3 - \frac{1}{125}b^3$