Номер 685, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 685, страница 119.

Условие.

685. Упростите выражение:

1) $(x + 1)(x^2 - x + 1) + (2 - x)(4 + 2x + x^2);$

2) $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) - x(x - 5)(x + 5);$

3) $a(a - 3)^2 - (a + 3)(a^2 - 3a + 9);$

4) $(a - 1)(a + 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для упрощения выражения $(x + 1)(x^2 - x + 1) + (2 - x)(4 + 2x + x^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения. Первое слагаемое $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=x$ и $b=1$. Таким образом, оно равно $x^3 + 1^3 = x^3 + 1$. Второе слагаемое $(2 - x)(4 + 2x + x^2)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=2$ и $b=x$. Таким образом, оно равно $2^3 - x^3 = 8 - x^3$. Сложим полученные результаты: $(x^3 + 1) + (8 - x^3) = x^3 + 1 + 8 - x^3 = 9$.
Ответ: $9$

2) Упростим выражение $(x - 4)(x^2 + 4x + 16) - x(x - 5)(x + 5)$. Первое произведение $(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$ является формулой разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=x$ и $b=4$. Оно равно $x^3 - 4^3 = x^3 - 64$. Второе слагаемое содержит произведение $(x-5)(x+5)$, которое является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Оно равно $x^2 - 5^2 = x^2 - 25$. Тогда второе слагаемое целиком равно $x(x^2 - 25) = x^3 - 25x$. Теперь вычтем второе из первого: $(x^3 - 64) - (x^3 - 25x) = x^3 - 64 - x^3 + 25x = 25x - 64$.
Ответ: $25x - 64$

3) Рассмотрим выражение $a(a - 3)^2 - (a + 3)(a^2 - 3a + 9)$. Раскроем квадрат разности в первом слагаемом: $a(a^2 - 6a + 9) = a^3 - 6a^2 + 9a$. Второе слагаемое $(a + 3)(a^2 - 3a + 9)$ является формулой суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где первый член — $a$, а второй — $3$. Оно равно $a^3 + 3^3 = a^3 + 27$. Теперь выполним вычитание: $(a^3 - 6a^2 + 9a) - (a^3 + 27) = a^3 - 6a^2 + 9a - a^3 - 27 = -6a^2 + 9a - 27$.
Ответ: $-6a^2 + 9a - 27$

4) Упростим выражение $(a - 1)(a + 1)(a^2 - a + 1)(a^2 + a + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1)$. Сгруппируем множители для применения формул сокращенного умножения: $[(a - 1)(a^2 + a + 1)][(a + 1)(a^2 - a + 1)](a^6 + 1)(a^{12} + 1)$. Первая скобка $[(a - 1)(a^2 + a + 1)]$ является формулой разности кубов и равна $a^3 - 1^3 = a^3 - 1$. Вторая скобка $[(a + 1)(a^2 - a + 1)]$ является формулой суммы кубов и равна $a^3 + 1^3 = a^3 + 1$. Выражение принимает вид: $(a^3 - 1)(a^3 + 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1)$. Теперь применим формулу разности квадратов к первым двум множителям: $(a^3 - 1)(a^3 + 1) = (a^3)^2 - 1^2 = a^6 - 1$. Выражение становится: $(a^6 - 1)(a^6 + 1)(a^{12} + 1)$. Снова применяем разность квадратов: $(a^6 - 1)(a^6 + 1) = (a^6)^2 - 1^2 = a^{12} - 1$. Выражение становится: $(a^{12} - 1)(a^{12} + 1)$. И еще раз применяем разность квадратов: $(a^{12} - 1)(a^{12} + 1) = (a^{12})^2 - 1^2 = a^{24} - 1$.
Ответ: $a^{24} - 1$