Номер 690, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 690, страница 120.

Условие.

690. Докажите, что значение выражения:

1) $456^3 - 156^3$ делится нацело на 300;

2) $254^3 + 238^3$ делится нацело на 123;

3) $17^6 - 1$ делится нацело на 36.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Для доказательства используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к выражению $456^3 - 156^3$, где $a = 456$ и $b = 156$.

$456^3 - 156^3 = (456 - 156)(456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2)$.

Вычислим значение первого множителя: $456 - 156 = 300$.

Таким образом, выражение можно записать в виде: $300 \cdot (456^2 + 456 \cdot 156 + 156^2)$.

Поскольку один из множителей в произведении равен 300, а второй множитель является целым числом, то все произведение делится нацело на 300.

Ответ: значение выражения $456^3 - 156^3$ делится нацело на 300, что и требовалось доказать.

2)

Для доказательства используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к выражению $254^3 + 238^3$, где $a = 254$ и $b = 238$.

$254^3 + 238^3 = (254 + 238)(254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2)$.

Вычислим значение первого множителя: $254 + 238 = 492$.

Проверим, делится ли число 492 на 123: $492 \div 123 = 4$.

Следовательно, первый множитель можно представить как $4 \cdot 123$. Тогда все выражение равно $4 \cdot 123 \cdot (254^2 - 254 \cdot 238 + 238^2)$.

Так как в произведении есть множитель 123, а остальные множители являются целыми числами, то все выражение делится нацело на 123.

Ответ: значение выражения $254^3 + 238^3$ делится нацело на 123, что и требовалось доказать.

3)

Представим выражение $17^6 - 1$ как разность кубов, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $17^6 - 1 = (17^2)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = 17^2$ и $b = 1$.

$(17^2)^3 - 1^3 = (17^2 - 1)((17^2)^2 + 17^2 \cdot 1 + 1^2) = (17^2 - 1)(17^4 + 17^2 + 1)$.

Теперь к первому множителю $(17^2 - 1)$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$17^2 - 1 = (17 - 1)(17 + 1) = 16 \cdot 18$.

Вычислим произведение $16 \cdot 18 = 288$.

Проверим делимость 288 на 36: $288 \div 36 = 8$. Значит, множитель $16 \cdot 18$ делится на 36.

Таким образом, исходное выражение можно записать как $288 \cdot (17^4 + 17^2 + 1)$, или $8 \cdot 36 \cdot (17^4 + 17^2 + 1)$.

Поскольку один из множителей произведения делится на 36, то и все произведение делится нацело на 36.

Ответ: значение выражения $17^6 - 1$ делится нацело на 36, что и требовалось доказать.