Номер 694, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 694, страница 120.

Условие.

694. Можно ли утверждать, что если сумма двух натуральных чисел делится нацело на некоторое натуральное число, то на это число делится нацело:

1) разность их квадратов;

2) сумма их квадратов;

3) сумма их кубов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа, а $k$ — натуральное число, на которое делится их сумма. По условию, $(a+b)$ делится нацело на $k$. Это можно записать как $a+b = n \cdot k$ для некоторого целого числа $n$, или, используя сравнения по модулю, $a+b \equiv 0 \pmod{k}$.

1) разность их квадратов;

Рассмотрим разность квадратов чисел $a$ и $b$: $a^2 - b^2$. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Поскольку множитель $(a+b)$ по условию делится на $k$, то и всё произведение $(a-b)(a+b)$ также делится на $k$. Более формально: если $a+b = n \cdot k$, то $a^2 - b^2 = (a-b) \cdot (n \cdot k) = (n(a-b)) \cdot k$. Так как $a, b$ — натуральные числа, а $n$ — целое, то $n(a-b)$ — целое число. Следовательно, $a^2 - b^2$ делится на $k$. Утверждение верно.

Ответ: Да.

2) сумма их квадратов;

Рассмотрим сумму квадратов чисел $a$ и $b$: $a^2 + b^2$. Это утверждение не всегда верно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Пусть $a=1$, $b=2$. Сумма $a+b = 1+2=3$. Пусть $k=3$. Условие задачи выполняется, так как $a+b=3$ делится на $k=3$. Теперь проверим, делится ли на $k=3$ сумма их квадратов: $a^2+b^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Число 5 не делится нацело на 3. Следовательно, данное утверждение неверно. (Для справки: $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$. Делимость этого выражения на $k$ зависит от делимости $2ab$ на $k$, что не гарантировано).

Ответ: Нет.

3) сумма их кубов?

Рассмотрим сумму кубов чисел $a$ и $b$: $a^3 + b^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Поскольку множитель $(a+b)$ по условию делится на $k$, то и всё произведение $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ также делится на $k$. Более формально: если $a+b = n \cdot k$, то $a^3 + b^3 = (n \cdot k) \cdot (a^2 - ab + b^2) = (n(a^2 - ab + b^2)) \cdot k$. Так как $a, b$ — натуральные числа, а $n$ — целое, то $n(a^2 - ab + b^2)$ — целое число. Следовательно, $a^3 + b^3$ делится на $k$. Утверждение верно.

Ответ: Да.