Номер 693, страница 120 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 693, страница 120.

Условие.

693. Придумайте многочлен, который можно разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов. Разложите придуманный многочлен на множители по этим формулам.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы многочлен можно было разложить на множители как по формуле разности квадратов, так и по формуле разности кубов, он должен представлять собой разность двух выражений, каждое из которых является одновременно и точным квадратом, и точным кубом. Это означает, что показатели степеней у переменных должны быть кратны и 2, и 3, то есть кратны 6, а числовые коэффициенты (если они являются константами) должны быть шестой степенью какого-либо числа. Возьмём в качестве примера многочлен $x^6 - 64$.

Выражение $x^6$ можно представить как $(x^3)^2$ и как $(x^2)^3$.

Число 64 можно представить как $8^2$ и как $4^3$.

Таким образом, многочлен $x^6 - 64$ удовлетворяет условию задачи.

Разложим этот многочлен по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $x^6 - 64$ в виде разности квадратов: $(x^3)^2 - 8^2$.

Здесь $a = x^3$ и $b = 8$.

Подставляем в формулу: $(x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8)$.

Ответ: $(x^3 - 8)(x^3 + 8)$.

Теперь разложим этот же многочлен по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Представим $x^6 - 64$ в виде разности кубов: $(x^2)^3 - 4^3$.

Здесь $a = x^2$ и $b = 4$.

Подставляем в формулу: $(x^2)^3 - 4^3 = (x^2 - 4)((x^2)^2 + x^2 \cdot 4 + 4^2) = (x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)$.

Ответ: $(x^2 - 4)(x^4 + 4x^2 + 16)$.