Номер 697, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 697, страница 121.

Условие.

697. Известно, что числа x и y таковы, что $x^2 + y^2 = 1$. Найдите значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

По условию задачи нам дано равенство $x^2 + y^2 = 1$.
Требуется найти значение выражения $x^6 + 3x^2y^2 + y^6$.
Для решения этой задачи возведем обе части известного нам равенства в третью степень (в куб):
$(x^2 + y^2)^3 = 1^3$

Используем формулу для куба суммы двух слагаемых: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
В нашем случае $a = x^2$ и $b = y^2$. Применим формулу к левой части уравнения:
$(x^2)^3 + 3(x^2)^2(y^2) + 3(x^2)(y^2)^2 + (y^2)^3 = 1$

Упростим полученное выражение:
$x^6 + 3x^4y^2 + 3x^2y^4 + y^6 = 1$

Теперь сгруппируем центральные слагаемые и вынесем за скобки общий множитель $3x^2y^2$:
$x^6 + y^6 + 3x^2y^2(x^2 + y^2) = 1$

Мы знаем из условия, что $x^2 + y^2 = 1$. Подставим это значение в наше уравнение:
$x^6 + y^6 + 3x^2y^2(1) = 1$
$x^6 + 3x^2y^2 + y^6 = 1$

Следовательно, значение искомого выражения равно 1.
Ответ: 1