Номер 702, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 702, страница 121.

Условие.

702. Какая последняя цифра значения выражения $9^{16} + 7^{16}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы найти последнюю цифру значения выражения, необходимо найти последнюю цифру каждого слагаемого и затем сложить их. Если сумма окажется двузначным числом, то последней цифрой всего выражения будет последняя цифра этой суммы.

1. Найдем последнюю цифру числа $3^{16}$.
Для этого выпишем последние цифры первых нескольких степеней числа 3:
$3^1 = 3$ (последняя цифра 3)
$3^2 = 9$ (последняя цифра 9)
$3^3 = 27$ (последняя цифра 7)
$3^4 = 81$ (последняя цифра 1)
$3^5 = 243$ (последняя цифра 3)
Мы видим, что последние цифры степеней числа 3 повторяются с циклом длиной 4: (3, 9, 7, 1).
Чтобы найти последнюю цифру $3^{16}$, нужно определить, на каком месте в этом цикле она находится. Для этого разделим показатель степени 16 на длину цикла 4:
$16 \div 4 = 4$ с остатком 0.
Остаток 0 означает, что последняя цифра числа $3^{16}$ совпадает с последней цифрой четвертого элемента цикла, то есть с 1.

2. Найдем последнюю цифру числа $7^{16}$.
Аналогично выпишем последние цифры первых нескольких степеней числа 7:
$7^1 = 7$ (последняя цифра 7)
$7^2 = 49$ (последняя цифра 9)
$7^3 = 343$ (последняя цифра 3)
$7^4 = 2401$ (последняя цифра 1)
$7^5 = 16807$ (последняя цифра 7)
Последние цифры степеней числа 7 также повторяются с циклом длиной 4: (7, 9, 3, 1).
Разделим показатель степени 16 на длину цикла 4:
$16 \div 4 = 4$ с остатком 0.
Остаток 0 означает, что последняя цифра числа $7^{16}$ совпадает с последней цифрой четвертого элемента цикла, то есть с 1.

3. Найдем последнюю цифру суммы $3^{16} + 7^{16}$.
Последняя цифра числа $3^{16}$ – это 1.
Последняя цифра числа $7^{16}$ – это 1.
Сложим эти цифры: $1 + 1 = 2$.
Следовательно, последняя цифра значения выражения $3^{16} + 7^{16}$ равна 2.

Ответ: 2