Номер 708, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 708, страница 124.

Условие.

708. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $12b^2 - 12c^2$;

2) $2a^2c - 2b^2c$;

3) $5a^2 - 20$;

4) $3mn^2 - 48m$;

5) $7y^3 - 7y$;

6) $a^3 - a^5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить многочлен $12b^2 - 12c^2$ в виде произведения, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель здесь – $12$.
$12b^2 - 12c^2 = 12(b^2 - c^2)$
Теперь мы видим, что выражение в скобках $b^2 - c^2$ является разностью квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$12(b^2 - c^2) = 12(b - c)(b + c)$
Ответ: $12(b - c)(b + c)$.

2) Для многочлена $2a^2c - 2b^2c$ вынесем за скобки общий множитель $2c$.
$2a^2c - 2b^2c = 2c(a^2 - b^2)$
Выражение в скобках $a^2 - b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$2c(a^2 - b^2) = 2c(a - b)(a + b)$
Ответ: $2c(a - b)(a + b)$.

3) Для многочлена $5a^2 - 20$ вынесем за скобки общий множитель $5$.
$5a^2 - 20 = 5(a^2 - 4)$
Выражение $a^2 - 4$ в скобках можно представить как разность квадратов $a^2 - 2^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$5(a^2 - 2^2) = 5(a - 2)(a + 2)$
Ответ: $5(a - 2)(a + 2)$.

4) Для многочлена $3mn^2 - 48m$ вынесем за скобки общий множитель $3m$. Заметим, что $48 = 3 \cdot 16$.
$3mn^2 - 48m = 3m(n^2 - 16)$
Выражение в скобках $n^2 - 16$ является разностью квадратов $n^2 - 4^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$3m(n^2 - 4^2) = 3m(n - 4)(n + 4)$
Ответ: $3m(n - 4)(n + 4)$.

5) Для многочлена $7y^3 - 7y$ вынесем за скобки общий множитель $7y$.
$7y^3 - 7y = 7y(y^2 - 1)$
Выражение в скобках $y^2 - 1$ является разностью квадратов $y^2 - 1^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$7y(y^2 - 1^2) = 7y(y - 1)(y + 1)$
Ответ: $7y(y - 1)(y + 1)$.

6) Для многочлена $a^3 - a^5$ вынесем за скобки общий множитель $a^3$ (переменная в наименьшей степени).
$a^3 - a^5 = a^3(1 - a^2)$
Выражение в скобках $1 - a^2$ является разностью квадратов $1^2 - a^2$. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$a^3(1^2 - a^2) = a^3(1 - a)(1 + a)$
Ответ: $a^3(1 - a)(1 + a)$.