Номер 711, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 711, страница 124.

Условие.

711. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $a^4 - b^4$;

2) $c^4 - 81$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы представить многочлен $a^4 - b^4$ в виде произведения, мы будем использовать формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Сначала представим исходное выражение как разность квадратов двух выражений. Заметим, что $a^4 = (a^2)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.

Тогда получаем:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2$

Применяя формулу разности квадратов, где $x=a^2$ и $y=b^2$, получаем:

$(a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Теперь заметим, что первый множитель $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов. Применим ту же формулу еще раз:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Второй множитель $(a^2 + b^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Соединив все вместе, получаем окончательное разложение:

$a^4 - b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$

Ответ: $(a-b)(a+b)(a^2 + b^2)$.

2) Для разложения многочлена $c^4 - 81$ воспользуемся тем же методом.

Представим $c^4$ как $(c^2)^2$ и число $81$ как $9^2$.

Тогда выражение примет вид разности квадратов:

$c^4 - 81 = (c^2)^2 - 9^2$

Применяя формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=c^2$ и $y=9$, получаем:

$(c^2)^2 - 9^2 = (c^2 - 9)(c^2 + 9)$

Первый множитель $(c^2 - 9)$ снова является разностью квадратов, так как $9 = 3^2$. Разложим его:

$c^2 - 9 = c^2 - 3^2 = (c-3)(c+3)$

Второй множитель $(c^2 + 9)$ является суммой квадратов и не раскладывается дальше.

Таким образом, окончательное разложение многочлена имеет вид:

$c^4 - 81 = (c-3)(c+3)(c^2 + 9)$

Ответ: $(c-3)(c+3)(c^2 + 9)$.