Номер 713, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 713, страница 124.

Условие.

713. Разложите на множители:

1) $4a^3 - 4b^3;$

2) $2m^3 - 16;$

3) $7 + 7b^3;$

4) $-x^4 + 27x;$

5) $2a^4 - 250a;$

6) $9a^5 - 9a^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения на множители выражения $4a^3 - 4b^3$ сначала вынесем общий множитель 4 за скобки:
$4a^3 - 4b^3 = 4(a^3 - b^3)$.
Выражение в скобках представляет собой разность кубов. Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применив эту формулу, получаем:
$4(a^3 - b^3) = 4(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Ответ: $4(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

2) Для разложения на множители выражения $2m^3 - 16$ вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2m^3 - 16 = 2(m^3 - 8)$.
Заметим, что $8 = 2^3$, поэтому выражение в скобках является разностью кубов. Применим формулу $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$2(m^3 - 2^3) = 2(m - 2)(m^2 + m \cdot 2 + 2^2) = 2(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$.
Ответ: $2(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$.

3) В выражении $7 + 7b^3$ вынесем общий множитель 7 за скобки:
$7 + 7b^3 = 7(1 + b^3)$.
Выражение в скобках является суммой кубов, так как $1 = 1^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
$7(1^3 + b^3) = 7(1 + b)(1^2 - 1 \cdot b + b^2) = 7(1 + b)(1 - b + b^2)$.
Ответ: $7(1 + b)(1 - b + b^2)$.

4) Для разложения на множители выражения $-x^4 + 27x$ вынесем общий множитель $-x$ за скобки, чтобы получить в скобках разность кубов:
$-x^4 + 27x = -x(x^3 - 27)$.
Выражение в скобках является разностью кубов, так как $27 = 3^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$-x(x^3 - 3^3) = -x(x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = -x(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.
Ответ: $-x(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$.

5) В выражении $2a^4 - 250a$ вынесем общий множитель $2a$ за скобки:
$2a^4 - 250a = 2a(a^3 - 125)$.
Число 125 является кубом числа 5 ($125 = 5^3$), поэтому выражение в скобках - это разность кубов. Воспользуемся формулой $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$2a(a^3 - 5^3) = 2a(a - 5)(a^2 + a \cdot 5 + 5^2) = 2a(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$.
Ответ: $2a(a - 5)(a^2 + 5a + 25)$.

6) Для разложения на множители выражения $9a^5 - 9a^2$ вынесем общий множитель $9a^2$ за скобки:
$9a^5 - 9a^2 = 9a^2(a^3 - 1)$.
Выражение в скобках является разностью кубов, так как $1 = 1^3$. Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$:
$9a^2(a^3 - 1^3) = 9a^2(a - 1)(a^2 + a \cdot 1 + 1^2) = 9a^2(a - 1)(a^2 + a + 1)$.
Ответ: $9a^2(a - 1)(a^2 + a + 1)$.