Номер 715, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 715, страница 124.

Условие.

715. Разложите на множители:

1) $a^7 + ab^6$

2) $x^8 - y^8$

3) $c^6 - 1$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^7 + ab^6$, сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем является $a$.

$a^7 + ab^6 = a(a^6 + b^6)$

Теперь рассмотрим выражение в скобках $a^6 + b^6$. Его можно представить как сумму кубов, так как $a^6 = (a^2)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.

$a^6 + b^6 = (a^2)^3 + (b^2)^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$. В нашем случае $x = a^2$ и $y = b^2$.

$(a^2)^3 + (b^2)^3 = (a^2 + b^2)((a^2)^2 - a^2b^2 + (b^2)^2) = (a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Объединим результаты, чтобы получить окончательное разложение:

$a(a^6 + b^6) = a(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

Ответ: $a(a^2 + b^2)(a^4 - a^2b^2 + b^4)$

2) Для разложения выражения $x^8 - y^8$ будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим $x^8 - y^8$ как разность квадратов $(x^4)^2 - (y^4)^2$.

$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$

Теперь разложим на множители выражение $x^4 - y^4$, которое также является разностью квадратов $(x^2)^2 - (y^2)^2$.

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

Выражение $x^2 - y^2$ снова является разностью квадратов.

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Выражение $x^4 + y^4$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители с действительными целыми коэффициентами.

Соберем все множители вместе:

$x^8 - y^8 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$

Ответ: $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$

3) Выражение $c^6 - 1$ можно разложить на множители, представив его как разность квадратов $(c^3)^2 - 1^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$c^6 - 1 = (c^3)^2 - 1^2 = (c^3 - 1)(c^3 + 1)$

Теперь разложим каждый из полученных множителей. Первый множитель $c^3 - 1$ является разностью кубов. Воспользуемся формулой $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

$c^3 - 1 = c^3 - 1^3 = (c - 1)(c^2 + c \cdot 1 + 1^2) = (c - 1)(c^2 + c + 1)$

Второй множитель $c^3 + 1$ является суммой кубов. Воспользуемся формулой $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

$c^3 + 1 = c^3 + 1^3 = (c + 1)(c^2 - c \cdot 1 + 1^2) = (c + 1)(c^2 - c + 1)$

Соберем все множители вместе и сгруппируем их для удобства:

$c^6 - 1 = (c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$

Ответ: $(c - 1)(c + 1)(c^2 - c + 1)(c^2 + c + 1)$