Номер 719, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 719, страница 125.

Условие.

719. Разложите на множители:

1) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2;$

2) $81 - (x^2 + 6x)^2;$

3) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2;$

4) $c^2 + 4c + 4 - k^2;$

5) $9a^2 + c^2 + 6ac - 9;$

6) $a^2 - b^2 - 10b - 25;$

7) $49 - y^2 + x^2 - 14x;$

8) $mn^2 - m^3 - 12m^2 - 36m.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(a^2 + b^2)^2 - 4a^2b^2$

Представим выражение $4a^2b^2$ как квадрат $(2ab)^2$. Исходное выражение является разностью квадратов:

$(a^2 + b^2)^2 - (2ab)^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a^2 + b^2$ и $y = 2ab$:

$((a^2 + b^2) - 2ab)((a^2 + b^2) + 2ab) = (a^2 - 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)$

Каждое выражение в скобках является формулой сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы соответственно):

$(a - b)^2(a + b)^2$

Также это можно записать как $((a-b)(a+b))^2 = (a^2-b^2)^2$. Оба варианта верны.

Ответ: $(a - b)^2(a + b)^2$.

2) $81 - (x^2 + 6x)^2$

Представим $81$ как $9^2$. Выражение является разностью квадратов:

$9^2 - (x^2 + 6x)^2$

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9$ и $b = x^2 + 6x$:

$(9 - (x^2 + 6x))(9 + (x^2 + 6x)) = (9 - x^2 - 6x)(9 + x^2 + 6x)$

Заметим, что второй множитель $x^2 + 6x + 9$ является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x + 3)^2$.

Таким образом, получаем:

$(9 - x^2 - 6x)(x + 3)^2$

Ответ: $(9 - x^2 - 6x)(x + 3)^2$.

3) $a^2 + 2ab + b^2 - c^2$

Сгруппируем первые три слагаемых. Они образуют формулу квадрата суммы:

$(a^2 + 2ab + b^2) - c^2 = (a + b)^2 - c^2$

Полученное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + b$ и $y = c$:

$((a + b) - c)((a + b) + c) = (a + b - c)(a + b + c)$

Ответ: $(a + b - c)(a + b + c)$.

4) $c^2 + 4c + 4 - k^2$

Сгруппируем первые три слагаемых, которые образуют полный квадрат суммы:

$(c^2 + 4c + 4) - k^2 = (c^2 + 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2) - k^2 = (c + 2)^2 - k^2$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = c + 2$ и $y = k$:

$((c + 2) - k)((c + 2) + k) = (c + 2 - k)(c + 2 + k)$

Ответ: $(c - k + 2)(c + k + 2)$.

5) $9a^2 + c^2 + 6ac - 9$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$(9a^2 + 6ac + c^2) - 9 = ((3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot c + c^2) - 9 = (3a + c)^2 - 9$

Представим $9$ как $3^2$ и получим разность квадратов:

$(3a + c)^2 - 3^2$

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 3a + c$ и $y = 3$:

$((3a + c) - 3)((3a + c) + 3) = (3a + c - 3)(3a + c + 3)$

Ответ: $(3a + c - 3)(3a + c + 3)$.

6) $a^2 - b^2 - 10b - 25$

Сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:

$a^2 - (b^2 + 10b + 25)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = (b + 5)^2$.

Подставим обратно и получим разность квадратов:

$a^2 - (b + 5)^2$

Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a$ и $y = b + 5$:

$(a - (b + 5))(a + (b + 5)) = (a - b - 5)(a + b + 5)$

Ответ: $(a - b - 5)(a + b + 5)$.

7) $49 - y^2 + x^2 - 14x$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат:

$(x^2 - 14x + 49) - y^2$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2$.

Подставим обратно и получим разность квадратов:

$(x - 7)^2 - y^2$

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x - 7$ и $b = y$:

$((x - 7) - y)((x - 7) + y) = (x - y - 7)(x + y - 7)$

Ответ: $(x - y - 7)(x + y - 7)$.

8) $mn^2 - m^3 - 12m^2 - 36m$

Сначала вынесем общий множитель $m$ за скобки:

$m(n^2 - m^2 - 12m - 36)$

Рассмотрим выражение в скобках. Сгруппируем слагаемые с переменной $m$ и вынесем знак минус:

$m(n^2 - (m^2 + 12m + 36))$

Выражение во вложенных скобках является полным квадратом суммы: $m^2 + 2 \cdot m \cdot 6 + 6^2 = (m + 6)^2$.

Подставим обратно. Выражение в больших скобках стало разностью квадратов:

$m(n^2 - (m + 6)^2)$

Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = n$ и $b = m + 6$:

$m((n - (m + 6))(n + (m + 6))) = m(n - m - 6)(n + m + 6)$

Ответ: $m(n - m - 6)(n + m + 6)$.