Номер 723, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 723, страница 125.

Условие.

723. Разложите на множители:

1) $x^2(x-2)-18x(x-2)+81(x-2)$;

2) $4x(y^2-9)+4x^2(y^2-9)-9+y^2$;

3) $b^2(a+1)-a^2(b+1)$;

4) $(a-b)(b^2-c^2)-(b-c)(a^2-b^2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Исходное выражение: $x^2(x - 2) - 18x(x - 2) + 81(x - 2)$.
Заметим, что $(x - 2)$ является общим множителем для всех трех слагаемых. Вынесем его за скобки:
$(x - 2)(x^2 - 18x + 81)$.
Теперь рассмотрим выражение в скобках: $x^2 - 18x + 81$. Это выражение является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
В нашем случае $a = x$ и $b = 9$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot x \cdot 9 = 18x$.
Следовательно, $x^2 - 18x + 81 = (x - 9)^2$.
Подставив это обратно, получаем окончательное разложение на множители:
$(x - 2)(x - 9)^2$.
Ответ: $(x - 2)(x - 9)^2$.

2) Исходное выражение: $4x(y^2 - 9) + 4x^2(y^2 - 9) - 9 + y^2$.
Сначала сгруппируем последние два члена: $-9 + y^2 = y^2 - 9$.
Выражение примет вид: $4x(y^2 - 9) + 4x^2(y^2 - 9) + 1 \cdot (y^2 - 9)$.
Вынесем общий множитель $(y^2 - 9)$ за скобки:
$(y^2 - 9)(4x + 4x^2 + 1)$.
Теперь разложим на множители каждый из полученных сомножителей.
Первый множитель $y^2 - 9$ — это разность квадратов $y^2 - 3^2$, которая раскладывается как $(y - 3)(y + 3)$.
Второй множитель $4x^2 + 4x + 1$ — это полный квадрат суммы, соответствующий формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.
В нашем случае $a = 2x$ и $b = 1$. Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 1 = 4x$.
Следовательно, $4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2$.
Объединив все множители, получаем:
$(y - 3)(y + 3)(2x + 1)^2$.
Ответ: $(y - 3)(y + 3)(2x + 1)^2$.

3) Исходное выражение: $b^2(a + 1) - a^2(b + 1)$.
Раскроем скобки, чтобы перегруппировать слагаемые:
$ab^2 + b^2 - a^2b - a^2$.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(ab^2 - a^2b) + (b^2 - a^2)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $ab$, а вторую группу разложим как разность квадратов:
$ab(b - a) + (b - a)(b + a)$.
Теперь мы видим общий множитель $(b - a)$, который можно вынести за скобки:
$(b - a)(ab + (b + a))$.
Упростив выражение во второй скобке, получаем:
$(b - a)(ab + a + b)$.
Ответ: $(b - a)(a + b + ab)$.

4) Исходное выражение: $(a - b)(b^2 - c^2) - (b - c)(a^2 - b^2)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ для выражений в скобках:
$b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Подставим эти разложения в исходное выражение:
$(a - b)(b - c)(b + c) - (b - c)(a - b)(a + b)$.
Видно, что $(a - b)(b - c)$ является общим множителем для обоих членов. Вынесем его за скобки:
$(a - b)(b - c) \cdot [(b + c) - (a + b)]$.
Раскроем скобки внутри квадратных скобок и упростим:
$(b + c) - (a + b) = b + c - a - b = c - a$.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$(a - b)(b - c)(c - a)$.
Ответ: $(a - b)(b - c)(c - a)$.