Номер 730, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 730, страница 126.

Условие.

730. Представьте в виде куба двучлена выражение:

1) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1;$ 2) $b^3 - 6b^2 + 12b - 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $a^3 + 3a^2 + 3a + 1$

Чтобы представить данное выражение в виде куба двучлена, необходимо использовать формулу куба суммы: $(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.

Сравним данное выражение с формулой. Мы видим, что:

Первый член выражения $a^3$ соответствует $x^3$, следовательно, можно предположить, что $x = a$.

Последний член выражения $1$ соответствует $y^3$, так как $1^3 = 1$, следовательно, можно предположить, что $y = 1$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения формуле при $x=a$ и $y=1$:

Второй член: $3x^2y = 3 \cdot a^2 \cdot 1 = 3a^2$. Это соответствует второму члену в исходном выражении.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot a \cdot 1^2 = 3a$. Это соответствует третьему члену в исходном выражении.

Так как все члены совпадают, данное выражение является кубом суммы $a$ и $1$.

$a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3$.

Ответ: $(a + 1)^3$.

2) $b^3 - 6b^2 + 12b - 8$

В этом случае знаки членов чередуются (+, -, +, -), что указывает на формулу куба разности: $(x - y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$.

Сравним данное выражение с этой формулой. Мы видим, что:

Первый член выражения $b^3$ соответствует $x^3$, следовательно, можно предположить, что $x = b$.

Последний член выражения $-8$ соответствует $-y^3$, так как $8 = 2^3$, следовательно, можно предположить, что $y = 2$.

Теперь проверим, соответствуют ли средние члены выражения формуле при $x=b$ и $y=2$:

Второй член: $-3x^2y = -3 \cdot b^2 \cdot 2 = -6b^2$. Это соответствует второму члену в исходном выражении.

Третий член: $3xy^2 = 3 \cdot b \cdot 2^2 = 3 \cdot b \cdot 4 = 12b$. Это соответствует третьему члену в исходном выражении.

Так как все члены совпадают, данное выражение является кубом разности $b$ и $2$.

$b^3 - 6b^2 + 12b - 8 = (b - 2)^3$.

Ответ: $(b - 2)^3$.