Номер 726, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 726, страница 125.

Условие.

726. Решите уравнение:

1) $x^3 - x = 0;$

2) $x^4 + x^2 = 0;$

3) $x^4 - 8x^3 = 0;$

4) $49x^3 + 14x^2 + x = 0;$

5) $x^3 + x^2 - x - 1 = 0;$

6) $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Выражение в скобках является разностью квадратов $x^2 - 1^2$, которую можно разложить на множители по формуле $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$

Решая каждое из этих простых уравнений, находим корни:

$x_1 = 0$; $x_2 = 1$; $x_3 = -1$

Ответ: $-1; 0; 1$.

2) $x^4 + x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^2 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$

Из первого уравнения получаем $x = 0$.

Второе уравнение $x^2 + 1 = 0$ преобразуется к виду $x^2 = -1$. В множестве действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один действительный корень.

Ответ: $0$.

3) $x^4 - 8x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x^3 = 0$ или $x - 8 = 0$

Решая каждое уравнение, находим корни:

$x_1 = 0$; $x_2 = 8$

Ответ: $0; 8$.

4) $49x^3 + 14x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(49x^2 + 14x + 1) = 0$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат суммы, так как $49x^2 = (7x)^2$, $1 = 1^2$, а $14x = 2 \cdot 7x \cdot 1$. Используем формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$x(7x + 1)^2 = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $(7x + 1)^2 = 0$

Решая второе уравнение, получаем:

$7x + 1 = 0 \Rightarrow 7x = -1 \Rightarrow x = -1/7$

Таким образом, корни уравнения:

$x_1 = 0$; $x_2 = -1/7$

Ответ: $-1/7; 0$.

5) $x^3 + x^2 - x - 1 = 0$

Решим уравнение методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 + x^2) - (x + 1) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 1(x + 1) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 1) = 0$

Второй множитель $x^2-1$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-1)(x+1)$.

$(x + 1)(x - 1)(x + 1) = 0$

$(x + 1)^2(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$(x + 1)^2 = 0$ или $x - 1 = 0$

Находим корни:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$

$x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = 1$

Ответ: $-1; 1$.

6) $x^3 - 4x^2 - 25x + 100 = 0$

Применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 4x^2) - (25x - 100) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 4) - 25(x - 4) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 4)$ за скобки:

$(x - 4)(x^2 - 25) = 0$

Второй множитель $x^2-25$ является разностью квадратов и раскладывается как $(x-5)(x+5)$.

$(x - 4)(x - 5)(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x - 4 = 0$ или $x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$

Находим корни:

$x_1 = 4$; $x_2 = 5$; $x_3 = -5$

Ответ: $-5; 4; 5$.