Номер 729, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 729, страница 126.

Условие.

729. Разложите выражение на множители двумя способами:

а) примените формулу разности квадратов;

б) раскройте скобки и примените метод группировки:

1) $(ab + 1)^2 - (a + b)^2$;

2) $(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(ab + 1)^2 - (a + b)^2$

а) примените формулу разности квадратов;

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = ab + 1$ и $y = a + b$.

$(ab + 1)^2 - (a + b)^2 = ((ab + 1) - (a + b))((ab + 1) + (a + b))$

Раскроем внутренние скобки в каждом множителе:

$(ab - a - b + 1)(ab + a + b + 1)$

Теперь сгруппируем слагаемые в каждом из полученных множителей и вынесем общий множитель за скобки.

Для первого множителя: $(ab - a) - (b - 1) = a(b - 1) - 1(b - 1) = (a - 1)(b - 1)$.

Для второго множителя: $(ab + a) + (b + 1) = a(b + 1) + 1(b + 1) = (a + 1)(b + 1)$.

Таким образом, итоговое разложение на множители:

$(a - 1)(b - 1)(a + 1)(b + 1)$

Ответ: $(a - 1)(b - 1)(a + 1)(b + 1)$.

б) раскройте скобки и примените метод группировки;

Сначала раскроем квадраты, используя формулы сокращенного умножения:

$(ab + 1)^2 - (a + b)^2 = ( (ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 ) - (a^2 + 2ab + b^2 )$

$(a^2b^2 + 2ab + 1) - (a^2 + 2ab + b^2)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$a^2b^2 + 2ab + 1 - a^2 - 2ab - b^2$

Приведем подобные члены ($2ab$ и $-2ab$ взаимно уничтожаются):

$a^2b^2 - a^2 - b^2 + 1$

Теперь применим метод группировки:

$(a^2b^2 - a^2) - (b^2 - 1) = a^2(b^2 - 1) - 1(b^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(b^2 - 1)$ за скобки:

$(a^2 - 1)(b^2 - 1)$

Применим формулу разности квадратов к каждому множителю:

$(a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1)$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)(b - 1)(b + 1)$.

2) $(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2$

а) примените формулу разности квадратов;

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + 2b$ и $y = ab + 2$.

$(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2 = ((a + 2b) - (ab + 2))((a + 2b) + (ab + 2))$

Раскроем внутренние скобки в каждом множителе:

$(a + 2b - ab - 2)(a + 2b + ab + 2)$

Сгруппируем слагаемые в каждом из полученных множителей.

Для первого множителя: $(a - ab) + (2b - 2) = a(1 - b) + 2(b - 1) = a(1 - b) - 2(1 - b) = (a - 2)(1 - b)$.

Для второго множителя: $(a + ab) + (2b + 2) = a(1 + b) + 2(b + 1) = (a + 2)(b + 1)$.

Таким образом, итоговое разложение на множители:

$(a - 2)(1 - b)(a + 2)(1 + b)$

Ответ: $(a - 2)(1 - b)(a + 2)(1 + b)$.

б) раскройте скобки и примените метод группировки;

Сначала раскроем квадраты, используя формулы сокращенного умножения:

$(a + 2b)^2 - (ab + 2)^2 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2) - ((ab)^2 + 2 \cdot ab \cdot 2 + 2^2)$

$(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2b^2 + 4ab + 4)$

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2b^2 - 4ab - 4$

Приведем подобные члены ($4ab$ и $-4ab$ взаимно уничтожаются):

$a^2 + 4b^2 - a^2b^2 - 4$

Теперь применим метод группировки, переставив слагаемые:

$(a^2 - a^2b^2) + (4b^2 - 4) = a^2(1 - b^2) + 4(b^2 - 1)$

Чтобы получить общий множитель, вынесем $-1$ из второй скобки:

$a^2(1 - b^2) - 4(1 - b^2)$

Вынесем общий множитель $(1 - b^2)$ за скобки:

$(a^2 - 4)(1 - b^2)$

Применим формулу разности квадратов к каждому множителю:

$(a - 2)(a + 2)(1 - b)(1 + b)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(1 - b)(1 + b)$.