Номер 735, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 735, страница 126.

Условие.

735. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 4x + 3;$

2) $a^2 + 2a - 24;$

3) $y^2 + 12y + 35;$

4) $x^2 + x - 6;$

5) $c^2 + 8cd + 15d^2;$

6) $9x^2 - 30xy + 16y^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$, нужно найти два числа, произведение которых равно свободному члену (3), а сумма равна коэффициенту при $x$ (-4). Этими числами являются -1 и -3, так как $(-1) \cdot (-3) = 3$ и $(-1) + (-3) = -4$.
Теперь представим средний член $-4x$ в виде суммы $-x - 3x$:
$x^2 - 4x + 3 = x^2 - x - 3x + 3$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:
$(x^2 - x) - (3x - 3) = x(x - 1) - 3(x - 1)$
Теперь вынесем общий множитель $(x - 1)$:
$(x - 1)(x - 3)$
Ответ: $(x - 1)(x - 3)$.

2) Для разложения многочлена $a^2 + 2a - 24$ найдем два числа, произведение которых равно -24, а сумма равна 2. Этими числами являются 6 и -4, так как $6 \cdot (-4) = -24$ и $6 + (-4) = 2$.
Представим $2a$ как $6a - 4a$:
$a^2 + 2a - 24 = a^2 + 6a - 4a - 24$
Сгруппируем и вынесем общие множители:
$(a^2 + 6a) - (4a + 24) = a(a + 6) - 4(a + 6)$
Вынесем общий множитель $(a + 6)$:
$(a + 6)(a - 4)$
Ответ: $(a + 6)(a - 4)$.

3) Для разложения многочлена $y^2 + 12y + 35$ найдем два числа, произведение которых равно 35, а сумма равна 12. Этими числами являются 5 и 7, так как $5 \cdot 7 = 35$ и $5 + 7 = 12$.
Представим $12y$ как $5y + 7y$:
$y^2 + 12y + 35 = y^2 + 5y + 7y + 35$
Сгруппируем и вынесем общие множители:
$(y^2 + 5y) + (7y + 35) = y(y + 5) + 7(y + 5)$
Вынесем общий множитель $(y + 5)$:
$(y + 5)(y + 7)$
Ответ: $(y + 5)(y + 7)$.

4) Для разложения многочлена $x^2 + x - 6$ найдем два числа, произведение которых равно -6, а сумма равна 1. Этими числами являются 3 и -2, так как $3 \cdot (-2) = -6$ и $3 + (-2) = 1$.
Представим $x$ как $3x - 2x$:
$x^2 + x - 6 = x^2 + 3x - 2x - 6$
Сгруппируем и вынесем общие множители:
$(x^2 + 3x) - (2x + 6) = x(x + 3) - 2(x + 3)$
Вынесем общий множитель $(x + 3)$:
$(x + 3)(x - 2)$
Ответ: $(x + 3)(x - 2)$.

5) Для разложения многочлена $c^2 + 8cd + 15d^2$ будем рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $c$. Нам нужно найти два одночлена, сумма которых равна $8cd$, а произведение равно $c^2 \cdot 15d^2 = 15c^2d^2$. Искомые одночлены — это $3cd$ и $5cd$, так как $3cd + 5cd = 8cd$ и $(3cd) \cdot (5cd) = 15c^2d^2$.
Представим $8cd$ как $3cd + 5cd$:
$c^2 + 8cd + 15d^2 = c^2 + 3cd + 5cd + 15d^2$
Сгруппируем и вынесем общие множители:
$(c^2 + 3cd) + (5cd + 15d^2) = c(c + 3d) + 5d(c + 3d)$
Вынесем общий множитель $(c + 3d)$:
$(c + 3d)(c + 5d)$
Ответ: $(c + 3d)(c + 5d)$.

6) Для разложения многочлена $9x^2 - 30xy + 16y^2$ методом группировки, нужно найти два числа, сумма которых равна -30 (коэффициент при $xy$), а произведение равно произведению коэффициентов при $x^2$ и $y^2$, то есть $9 \cdot 16 = 144$.
Этими числами являются -6 и -24, так как $(-6) + (-24) = -30$ и $(-6) \cdot (-24) = 144$.
Представим средний член $-30xy$ в виде суммы $-6xy - 24xy$:
$9x^2 - 30xy + 16y^2 = 9x^2 - 6xy - 24xy + 16y^2$
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
$(9x^2 - 6xy) - (24xy - 16y^2) = 3x(3x - 2y) - 8y(3x - 2y)$
Вынесем общий множитель $(3x - 2y)$:
$(3x - 2y)(3x - 8y)$
Ответ: $(3x - 2y)(3x - 8y)$.