Номер 736, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 736, страница 126.

Условие.

736. Значения переменных $x_1$ и $x_2$ таковы, что выполняются равенства $x_1 - x_2 = 8$, $x_1 x_2 = 5$. Найдите значение выражения:

1) $x_1 x_2^2 - x_2 x_1^2$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $(x_1 + x_2)^2$;

4) $x_1^3 - x_2^3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения нам даны два равенства: $x_1 - x_2 = 8$ и $x_1 x_2 = 5$.

1) Чтобы найти значение выражения $x_1 x_2^2 - x_1^2 x_2$, вынесем общий множитель $x_1 x_2$ за скобки: $x_1 x_2 (x_2 - x_1)$. Так как по условию $x_1 - x_2 = 8$, то $x_2 - x_1 = -(x_1 - x_2) = -8$. Подставим известные значения $x_1 x_2 = 5$ и $x_2 - x_1 = -8$ в преобразованное выражение: $5 \cdot (-8) = -40$.
Ответ: -40

2) Для нахождения $x_1^2 + x_2^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, из которой следует, что $a^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab$. Применительно к нашим переменным: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + 2x_1 x_2$. Подставим известные значения: $8^2 + 2 \cdot 5 = 64 + 10 = 74$.
Ответ: 74

3) Для вычисления $(x_1 + x_2)^2$ воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$. Подставим известные значения в это тождество: $(x_1 + x_2)^2 = (x_1 - x_2)^2 + 4x_1 x_2 = 8^2 + 4 \cdot 5 = 64 + 20 = 84$.
Ответ: 84

4) Для вычисления $x_1^3 - x_2^3$ используем формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$. Перепишем выражение как $(x_1 - x_2)((x_1^2 + x_2^2) + x_1 x_2)$. Из пункта 2 мы уже знаем, что $x_1^2 + x_2^2 = 74$. Подставим все известные значения: $8 \cdot (74 + 5) = 8 \cdot 79 = 632$.
Ответ: 632