Номер 741, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 741, страница 127.

Условие.

741. Докажите, что при любом натуральном значении n, отличном от 1, значение выражения $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Чтобы доказать, что выражение $n^4 + n^2 + 1$ является составным числом при любом натуральном $n$, отличном от 1 (то есть $n \ge 2$), нужно показать, что оно может быть представлено в виде произведения двух целых чисел, каждое из которых больше 1.

Для этого разложим выражение на множители. Используем метод выделения полного квадрата. Добавим и вычтем $n^2$:

$n^4 + n^2 + 1 = (n^4 + 2n^2 + 1) - n^2$

Первые три слагаемых представляют собой полный квадрат суммы $(n^2+1)^2$. Таким образом, выражение можно переписать в виде:

$(n^2 + 1)^2 - n^2$

Теперь мы имеем разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = n^2 + 1$ и $b = n$:

$(n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n)$

Итак, исходное выражение равно произведению двух множителей:

$n^4 + n^2 + 1 = (n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$

Теперь докажем, что при $n \ge 2$ оба множителя являются целыми числами, большими 1.

1. Рассмотрим первый множитель $n^2 - n + 1$.

Поскольку по условию $n$ — натуральное число и $n \ge 2$, то:

$n^2 - n + 1 = n(n - 1) + 1$

Так как $n \ge 2$, то $n-1 \ge 1$. Значит, произведение $n(n-1) \ge 2 \cdot 1 = 2$.

Следовательно, $n(n - 1) + 1 \ge 2 + 1 = 3$. Таким образом, первый множитель всегда больше 1.

2. Рассмотрим второй множитель $n^2 + n + 1$.

Поскольку $n \ge 2$, то $n^2 \ge 4$ и $n \ge 2$. Все слагаемые в выражении положительны.

$n^2 + n + 1 \ge 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$.

Таким образом, второй множитель также всегда больше 1.

Мы представили выражение $n^4 + n^2 + 1$ в виде произведения двух целых чисел, $(n^2 - n + 1)$ и $(n^2 + n + 1)$, каждое из которых больше 1 для любого натурального $n>1$. Это означает, что значение выражения является составным числом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $n^4+n^2+1$ можно разложить на множители $(n^2-n+1)(n^2+n+1)$, и при любом натуральном $n>1$ оба множителя являются целыми числами больше 1, то значение выражения является составным числом.