Номер 737, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 737, страница 126.

Условие.

737. Значения переменных $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства $x + y = 6$, $xy = -3$. Найдите значение выражения:

1) $x^3y^2 + x^2y^3$;

2) $(x - y)^2$;

3) $x^4 + y^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Нам даны два равенства: $x + y = 6$ и $xy = -3$. Используя эти данные, найдем значения требуемых выражений.

1) $x^3y^2 + x^2y^3$;

Для нахождения значения этого выражения, вынесем за скобки общий множитель $x^2y^2$.

$x^3y^2 + x^2y^3 = x^2y^2(x + y)$

Мы можем переписать это выражение как $(xy)^2(x + y)$.

По условию задачи нам даны значения $x + y = 6$ и $xy = -3$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$(-3)^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54$

Ответ: 54

2) $(x - y)^2$;

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности. Мы можем связать ее с формулой квадрата суммы:

$(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$

Добавим и вычтем $2xy$, чтобы использовать известное значение $(x+y)$:

$(x - y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - 4xy = (x + y)^2 - 4xy$

Теперь подставим известные значения $x + y = 6$ и $xy = -3$ в полученную формулу:

$(x - y)^2 = (6)^2 - 4(-3) = 36 - (-12) = 36 + 12 = 48$

Ответ: 48

3) $x^4 + y^4$.

Выражение $x^4 + y^4$ можно представить как часть формулы квадрата суммы для $x^2$ и $y^2$.

$(x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2(x^2)(y^2) + (y^2)^2 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

Из этой формулы выразим $x^4 + y^4$:

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$

Сначала нам нужно найти значение $x^2 + y^2$. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы:

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

Подставим известные значения $x + y = 6$ и $xy = -3$:

$x^2 + y^2 = (6)^2 - 2(-3) = 36 + 6 = 42$

Теперь мы можем найти значение $x^4 + y^4$, подставив найденное значение $x^2 + y^2 = 42$ и известное значение $xy = -3$ в нашу формулу:

$x^4 + y^4 = (42)^2 - 2(-3)^2 = 1764 - 2 \cdot 9 = 1764 - 18 = 1746$

Ответ: 1746