Номер 731, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 731, страница 126.

Условие.

731. Докажите тождество:

1) $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c);$

2) $(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 = -3(a - b)(b - c)(a - c).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Чтобы доказать тождество $(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a + b)(b + c)(a + c)$, преобразуем его левую часть.

Сначала сгруппируем $a$ и $b$ и применим формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$, где $x = a+b$ и $y = c$:

$((a + b) + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = (a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 + c^3 - a^3 - b^3 - c^3$

Сократим $c^3$ и $-c^3$:

$(a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 - a^3 - b^3$

Теперь раскроем $(a+b)^3$ по той же формуле:

$(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 - a^3 - b^3$

Сократим $a^3$ с $-a^3$ и $b^3$ с $-b^3$:

$3a^2b + 3ab^2 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2$

Вынесем общий множитель $3(a+b)$ за скобки:

$3(a+b)[ab + c(a+b) + c^2]$

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$3(a+b)[ab + ac + bc + c^2]$

Сгруппируем слагаемые в квадратных скобках и разложим на множители:

$3(a+b)[(ab + bc) + (ac + c^2)] = 3(a+b)[b(a+c) + c(a+c)]$

Вынесем общий множитель $(a+c)$:

$3(a+b)(b+c)(a+c)$

Левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество $(a - b)^3 + (b - c)^3 - (a - c)^3 = -3(a - b)(b - c)(a - c)$, введем замену переменных.

Пусть $x = a-b$ и $y = b-c$.

Тогда их сумма будет равна: $x+y = (a-b) + (b-c) = a-b+b-c = a-c$.

Теперь подставим новые переменные в левую часть исходного тождества:

$x^3 + y^3 - (x+y)^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) = x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3$

Приведем подобные члены:

$-3x^2y - 3xy^2$

Вынесем общий множитель $-3xy$ за скобки:

$-3xy(x+y)$

Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $x$, $y$ и $x+y$ их выражения через $a$, $b$ и $c$:

$-3(a-b)(b-c)(a-c)$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.