Номер 738, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 738, страница 126.

Условие.

738. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(2n-1)^3 - 4n^2 + 2n + 1$ делится нацело на 16.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства упростим данное выражение. Сначала раскроем куб разности, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(2n - 1)^3 - 4n^2 + 2n + 1 = (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 4n^2 + 2n + 1 = 8n^3 - 16n^2 + 8n$

Вынесем общий множитель $8n$ за скобки:

$8n^3 - 16n^2 + 8n = 8n(n^2 - 2n + 1)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности: $n^2 - 2n + 1 = (n-1)^2$. Таким образом, наше выражение принимает вид:

$8n(n - 1)^2$

Чтобы доказать, что это выражение делится на 16, нужно показать, что произведение $n(n - 1)^2$ делится на 2.

Числа $n$ и $n-1$ являются двумя последовательными натуральными числами, поэтому одно из них обязательно является четным.

1. Если $n$ — четное число, то и все произведение $n(n-1)^2$ является четным, то есть делится на 2.

2. Если $n-1$ — четное число, то $(n-1)^2$ будет делиться на $2^2=4$. В этом случае произведение $n(n-1)^2$ делится на 4, а следовательно, и на 2.

Таким образом, при любом натуральном $n$ произведение $n(n-1)^2$ является четным, то есть его можно представить в виде $2k$, где $k$ — некоторое целое число.

Следовательно, исходное выражение можно записать как $8 \cdot (2k) = 16k$, что доказывает его делимость на 16 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(2n - 1)^3 - 4n^2 + 2n + 1$ делится нацело на 16.