Номер 732, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 732, страница 126.

Условие.

732. Разложите на множители выражение:

1) $(x-y)(x+y) + 2(x+3y) - 8$;

2) $(2a-3b)(2a+3b) - 4(a+3b) - 3$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Чтобы разложить на множители выражение $(x - y)(x + y) + 2(x + 3y) - 8$, сначала упростим его, раскрыв скобки.
Произведение $(x - y)(x + y)$ является формулой разности квадратов: $x^2 - y^2$.
Раскроем вторую скобку: $2(x + 3y) = 2x + 6y$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$x^2 - y^2 + 2x + 6y - 8$
Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было выделить полные квадраты:
$(x^2 + 2x) + (-y^2 + 6y) - 8$
Выделим полный квадрат для переменной $x$:
$x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x + 1)^2 - 1$
Выделим полный квадрат для переменной $y$:
$-y^2 + 6y = -(y^2 - 6y) = -(y^2 - 6y + 9 - 9) = -((y - 3)^2 - 9) = -(y - 3)^2 + 9$
Подставим эти выражения обратно:
$((x + 1)^2 - 1) + (-(y - 3)^2 + 9) - 8 = (x + 1)^2 - 1 - (y - 3)^2 + 9 - 8$
Приведем подобные числовые слагаемые:
$(x + 1)^2 - (y - 3)^2 + (-1 + 9 - 8) = (x + 1)^2 - (y - 3)^2$
Получилось выражение, представляющее собой разность квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$((x + 1) - (y - 3))((x + 1) + (y - 3))$
Раскроем внутренние скобки:
$(x + 1 - y + 3)(x + 1 + y - 3)$
$(x - y + 4)(x + y - 2)$
Ответ: $(x - y + 4)(x + y - 2)$.

2) Разложим на множители выражение $(2a - 3b)(2a + 3b) - 4(a + 3b) - 3$.
Сначала упростим выражение. Первое произведение является разностью квадратов:
$(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$
Раскроем вторую скобку:
$-4(a + 3b) = -4a - 12b$
Подставим в исходное выражение:
$4a^2 - 9b^2 - 4a - 12b - 3$
Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:
$(4a^2 - 4a) + (-9b^2 - 12b) - 3$
Выделим полный квадрат для переменной $a$:
$4a^2 - 4a = (4a^2 - 4a + 1) - 1 = (2a - 1)^2 - 1$
Выделим полный квадрат для переменной $b$:
$-9b^2 - 12b = -(9b^2 + 12b) = -(9b^2 + 12b + 4 - 4) = -((3b + 2)^2 - 4) = -(3b + 2)^2 + 4$
Подставим полученные выражения обратно:
$((2a - 1)^2 - 1) + (-(3b + 2)^2 + 4) - 3 = (2a - 1)^2 - 1 - (3b + 2)^2 + 4 - 3$
Упростим числовые слагаемые:
$(2a - 1)^2 - (3b + 2)^2 + (-1 + 4 - 3) = (2a - 1)^2 - (3b + 2)^2$
Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:
$((2a - 1) - (3b + 2))((2a - 1) + (3b + 2))$
Раскроем внутренние скобки:
$(2a - 1 - 3b - 2)(2a - 1 + 3b + 2)$
$(2a - 3b - 3)(2a + 3b + 1)$
Ответ: $(2a - 3b - 3)(2a + 3b + 1)$.