Номер 725, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 725, страница 125.

Условие.

725. Решите уравнение:

1) $x^3 - 4x = 0;$

2) $x^4 - x^2 = 0;$

3) $x^5 - 36x^3 = 0;$

4) $9x^3 - x = 0;$

5) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0;$

6) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0;$

7) $x^3 - 5x^2 + 4x - 20 = 0;$

8) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $x^3 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
$x = 0$ или $x^2 - 4 = 0$
Решим второе уравнение, используя формулу разности квадратов:
$(x - 2)(x + 2) = 0$
$x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$
$x = 2$ или $x = -2$
Корни уравнения: $-2, 0, 2$.
Ответ: $-2; 0; 2$.

2) $x^4 - x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 0$ или $x^2 - 1 = 0$
Из первого уравнения получаем $x = 0$.
Решим второе уравнение:
$x^2 = 1$
$x = 1$ или $x = -1$
Корни уравнения: $-1, 0, 1$.
Ответ: $-1; 0; 1$.

3) $x^5 - 36x^3 = 0$
Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:
$x^3(x^2 - 36) = 0$
$x^3 = 0$ или $x^2 - 36 = 0$
Из первого уравнения получаем $x = 0$.
Решим второе уравнение:
$x^2 = 36$
$x = 6$ или $x = -6$
Корни уравнения: $-6, 0, 6$.
Ответ: $-6; 0; 6$.

4) $9x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(9x^2 - 1) = 0$
$x = 0$ или $9x^2 - 1 = 0$
Решим второе уравнение:
$9x^2 = 1$
$x^2 = 1/9$
$x = 1/3$ или $x = -1/3$
Корни уравнения: $-1/3, 0, 1/3$.
Ответ: $-1/3; 0; 1/3$.

5) $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 10x + 25) = 0$
$x = 0$ или $x^2 - 10x + 25 = 0$
Решим второе уравнение, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - 5)^2 = 0$
$x - 5 = 0$
$x = 5$
Корни уравнения: $0, 5$.
Ответ: $0; 5$.

6) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0$
Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:
$(x^2 - 9)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 - 9 = 0$ или $x + 2 = 0$
Из первого уравнения: $x^2 = 9$, значит $x = 3$ или $x = -3$.
Из второго уравнения: $x = -2$.
Корни уравнения: $-3, -2, 3$.
Ответ: $-3; -2; 3$.

7) $x^3 - 5x^2 + 4x - 20 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^3 - 5x^2) + (4x - 20) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^2(x - 5) + 4(x - 5) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:
$(x^2 + 4)(x - 5) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 + 4 = 0$ или $x - 5 = 0$
Уравнение $x^2 + 4 = 0$ ($x^2 = -4$) не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.
Из второго уравнения: $x = 5$.
Единственный действительный корень уравнения: $5$.
Ответ: $5$.

8) $x^5 - x^4 - x + 1 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^5 - x^4) - (x - 1) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$x^4(x - 1) - 1(x - 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки:
$(x^4 - 1)(x - 1) = 0$
Разложим $x^4 - 1$ по формуле разности квадратов:
$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
Разложим $x^2 - 1$ по формуле разности квадратов:
$(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1) = 0$
$(x - 1)^2(x + 1)(x^2 + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$(x - 1)^2 = 0$ или $x + 1 = 0$ или $x^2 + 1 = 0$
Из первого уравнения: $x - 1 = 0$, значит $x = 1$.
Из второго уравнения: $x = -1$.
Уравнение $x^2 + 1 = 0$ ($x^2 = -1$) не имеет действительных корней.
Корни уравнения: $-1, 1$.
Ответ: $-1; 1$.