Номер 722, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 722, страница 125.

Условие.

722. Разложите на множители:

1) $m^2 - n^2 - m + n$;

2) $c + d - c^2 + d^2$;

3) $16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y$;

4) $12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2$;

5) $49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a$;

6) $ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4$;

7) $27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2$;

8) $b^3 - 2b^2 - 2b + 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $m^2 - n^2 - m + n$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые: $(m^2 - n^2) - (m - n)$.

Первая группа является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(m - n)(m + n) - (m - n)$.

Теперь можно вынести общий множитель $(m - n)$ за скобки:

$(m - n)((m + n) - 1) = (m - n)(m + n - 1)$.

Ответ: $(m - n)(m + n - 1)$.

2) $c + d - c^2 + d^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(c + d) - (c^2 - d^2)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ ко второй группе:

$(c + d) - (c - d)(c + d)$.

Вынесем общий множитель $(c + d)$ за скобки:

$(c + d)(1 - (c - d)) = (c + d)(1 - c + d)$.

Ответ: $(c + d)(1 - c + d)$.

3) $16x^2 - 25y^2 - 4x - 5y$

Сгруппируем слагаемые: $(16x^2 - 25y^2) - (4x + 5y)$.

Выражение в первых скобках является разностью квадратов: $16x^2 - 25y^2 = (4x)^2 - (5y)^2 = (4x - 5y)(4x + 5y)$.

Подставим это в исходное выражение:

$(4x - 5y)(4x + 5y) - (4x + 5y)$.

Вынесем общий множитель $(4x + 5y)$ за скобки:

$(4x + 5y)((4x - 5y) - 1) = (4x + 5y)(4x - 5y - 1)$.

Ответ: $(4x + 5y)(4x - 5y - 1)$.

4) $12a^2b^3 + 3a^3b^2 + 16b^2 - a^2$

Сгруппируем слагаемые попарно: $(12a^2b^3 + 3a^3b^2) + (16b^2 - a^2)$.

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3a^2b^2$. Вторую группу разложим как разность квадратов:

$3a^2b^2(4b + a) + (4b - a)(4b + a)$.

Теперь вынесем общий множитель $(4b + a)$ за скобки:

$(4b + a)(3a^2b^2 + (4b - a)) = (4b + a)(3a^2b^2 + 4b - a)$.

Ответ: $(4b + a)(3a^2b^2 + 4b - a)$.

5) $49c^2 - 14c + 1 - 21ac + 3a$

Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат разности: $49c^2 - 14c + 1 = (7c - 1)^2$.

Сгруппируем последние два слагаемых и вынесем общий множитель $-3a$: $-21ac + 3a = -3a(7c - 1)$.

Теперь выражение выглядит так:

$(7c - 1)^2 - 3a(7c - 1)$.

Вынесем общий множитель $(7c - 1)$ за скобки:

$(7c - 1)((7c - 1) - 3a) = (7c - 1)(7c - 3a - 1)$.

Ответ: $(7c - 1)(7c - 3a - 1)$.

6) $ax^2 + ay^2 + x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

Перегруппируем слагаемые: $(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) + (ax^2 + ay^2)$.

Первая группа является полным квадратом суммы: $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$.

Во второй группе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(x^2 + y^2)$.

Получаем выражение:

$(x^2 + y^2)^2 + a(x^2 + y^2)$.

Вынесем общий множитель $(x^2 + y^2)$ за скобки:

$(x^2 + y^2)((x^2 + y^2) + a) = (x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + a)$.

Ответ: $(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + a)$.

7) $27c^3 - d^3 + 9c^2 + 3cd + d^2$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние три: $(27c^3 - d^3) + (9c^2 + 3cd + d^2)$.

Первая группа представляет собой разность кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$27c^3 - d^3 = (3c)^3 - d^3 = (3c - d)(9c^2 + 3cd + d^2)$.

Подставим это в выражение:

$(3c - d)(9c^2 + 3cd + d^2) + (9c^2 + 3cd + d^2)$.

Вынесем общий множитель $(9c^2 + 3cd + d^2)$ за скобки:

$(9c^2 + 3cd + d^2)((3c - d) + 1) = (9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$.

Ответ: $(9c^2 + 3cd + d^2)(3c - d + 1)$.

8) $b^3 - 2b^2 - 2b + 1$

Перегруппируем слагаемые: $(b^3 + 1) - (2b^2 + 2b)$.

Первая группа является суммой кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$: $b^3 + 1 = (b + 1)(b^2 - b + 1)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $2b$: $2b^2 + 2b = 2b(b+1)$.

Получаем выражение:

$(b + 1)(b^2 - b + 1) - 2b(b + 1)$.

Вынесем общий множитель $(b + 1)$ за скобки:

$(b + 1)((b^2 - b + 1) - 2b) = (b + 1)(b^2 - 3b + 1)$.

Ответ: $(b + 1)(b^2 - 3b + 1)$.