Номер 716, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 716, страница 124.

Условие.

716. Разложите на множители:

1) $c^6 + c^9$

2) $m^9 - n^9$

3) $a^8 - b^4$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения на множители выражения $c^6 + c^9$, в первую очередь, вынесем за скобки общий множитель. Общим множителем является $c$ в наименьшей степени, то есть $c^6$.
$c^6 + c^9 = c^6 \cdot 1 + c^6 \cdot c^3 = c^6(1 + c^3)$
Выражение в скобках $(1 + c^3)$ представляет собой сумму кубов. Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a=1$ и $b=c$.
$1 + c^3 = 1^3 + c^3 = (1 + c)(1^2 - 1 \cdot c + c^2) = (1 + c)(1 - c + c^2)$
Подставим полученное разложение обратно в исходное выражение:
$c^6 + c^9 = c^6(1 + c)(1 - c + c^2)$
Ответ: $c^6(1 + c)(1 - c + c^2)$.

2) Выражение $m^9 - n^9$ можно представить как разность кубов, так как $m^9 = (m^3)^3$ и $n^9 = (n^3)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. В данном случае $a = m^3$ и $b = n^3$.
$m^9 - n^9 = (m^3)^3 - (n^3)^3 = (m^3 - n^3)((m^3)^2 + m^3n^3 + (n^3)^2) = (m^3 - n^3)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$
Первый множитель $(m^3 - n^3)$ также является разностью кубов, и его можно разложить дальше по той же формуле:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$
Теперь объединим все множители для получения окончательного ответа:
$m^9 - n^9 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$
Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)(m^6 + m^3n^3 + n^6)$.

3) Выражение $a^8 - b^4$ можно представить как разность квадратов, поскольку $a^8 = (a^4)^2$ и $b^4 = (b^2)^2$.
Применим формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. В нашем случае $x = a^4$ и $y = b^2$.
$a^8 - b^4 = (a^4)^2 - (b^2)^2 = (a^4 - b^2)(a^4 + b^2)$
Первый множитель $(a^4 - b^2)$ также является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$. Разложим его:
$a^4 - b^2 = (a^2)^2 - b^2 = (a^2 - b)(a^2 + b)$
Второй множитель $(a^4 + b^2)$ является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$a^8 - b^4 = (a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$
Ответ: $(a^2 - b)(a^2 + b)(a^4 + b^2)$.