Номер 714, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 714, страница 124.

Условие.

714. Представьте в виде произведения многочлен:

1) $3x^3 + 3y^3$,

2) $5m^4 - 320mn^3$,

3) $6c^5 - 6c^8$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $3x^3 + 3y^3$
Первым шагом вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3x^3 + 3y^3 = 3(x^3 + y^3)$
Теперь выражение в скобках $(x^3 + y^3)$ представляет собой сумму кубов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Применив эту формулу к выражению $(x^3 + y^3)$, где $a=x$ и $b=y$, получаем:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$
Теперь подставим это разложение в наше исходное выражение:
$3(x^3 + y^3) = 3(x + y)(x^2 - xy + y^2)$
Таким образом, мы представили многочлен в виде произведения.
Ответ: $3(x + y)(x^2 - xy + y^2)$

2) $5m^4 - 320mn^3$
Сначала найдем и вынесем за скобки наибольший общий делитель. Для коэффициентов 5 и 320 это 5. Для переменных $m^4$ и $m$ это $m$. Таким образом, общий множитель - $5m$.
$5m^4 - 320mn^3 = 5m(m^3 - 64n^3)$
Выражение в скобках $(m^3 - 64n^3)$ является разностью кубов, так как $64n^3 = (4n)^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a=m$ и $b=4n$. Применим формулу:
$m^3 - (4n)^3 = (m - 4n)(m^2 + m \cdot 4n + (4n)^2) = (m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$
Подставим полученное разложение обратно:
$5m(m^3 - 64n^3) = 5m(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$
Таким образом, мы представили многочлен в виде произведения.
Ответ: $5m(m - 4n)(m^2 + 4mn + 16n^2)$

3) $6c^5 - 6c^8$
Вынесем за скобки общий множитель. Общий числовой коэффициент - 6. Для переменных $c^5$ и $c^8$ общим множителем является переменная в наименьшей степени, то есть $c^5$. Итак, общий множитель - $6c^5$.
$6c^5 - 6c^8 = 6c^5(1 - c^3)$
Выражение в скобках $(1 - c^3)$ является разностью кубов, так как $1 = 1^3$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном случае $a=1$ и $b=c$. Применим формулу:
$1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$
Подставим это разложение в наше выражение:
$6c^5(1 - c^3) = 6c^5(1 - c)(1 + c + c^2)$
Таким образом, мы представили многочлен в виде произведения.
Ответ: $6c^5(1 - c)(1 + c + c^2)$