Номер 710, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §19. Применение различных способов разложения многочлена на множители - номер 710, страница 124.

Условие.

710. Разложите на множители:

1) $8x^2 + 16xy + 8y^2$

2) $-2a^2 + 24ab - 72b^2$

3) $-12b^3 - 12b^2 - 3b$

4) $48m^3n - 72m^2n + 27mn$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $8x^2 + 16xy + 8y^2$

Сначала вынесем общий числовой множитель за скобки. Наибольший общий делитель для коэффициентов 8, 16 и 8 равен 8.

$8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)$

Выражение в скобках, $x^2 + 2xy + y^2$, является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В нашем случае $a=x$ и $b=y$.

$8(x^2 + 2xy + y^2) = 8(x+y)^2$

Ответ: $8(x+y)^2$

2) $-2a^2 + 24ab - 72b^2$

Вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для модулей коэффициентов 2, 24 и 72 равен 2. Вынесем -2, чтобы старший коэффициент в скобках был положительным.

$-2a^2 + 24ab - 72b^2 = -2(a^2 - 12ab + 36b^2)$

Выражение в скобках, $a^2 - 12ab + 36b^2$, является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=a$ и $y=6b$, так как $(a)^2 = a^2$, $(6b)^2 = 36b^2$ и $2 \cdot a \cdot 6b = 12ab$.

$-2(a^2 - 12ab + 36b^2) = -2(a-6b)^2$

Ответ: $-2(a-6b)^2$

3) $-12b^3 - 12b^2 - 3b$

Вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем для всех членов является $-3b$.

$-12b^3 - 12b^2 - 3b = -3b(4b^2 + 4b + 1)$

Выражение в скобках, $4b^2 + 4b + 1$, является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=2b$ и $y=1$, так как $(2b)^2 = 4b^2$, $(1)^2 = 1$ и $2 \cdot 2b \cdot 1 = 4b$.

$-3b(4b^2 + 4b + 1) = -3b(2b+1)^2$

Ответ: $-3b(2b+1)^2$

4) $48m^3n - 72m^2n + 27mn$

Вынесем общий множитель за скобки. Наибольший общий делитель для коэффициентов 48, 72 и 27 равен 3. Общие переменные с наименьшей степенью - $m$ и $n$. Таким образом, общий множитель - $3mn$.

$48m^3n - 72m^2n + 27mn = 3mn(16m^2 - 24m + 9)$

Выражение в скобках, $16m^2 - 24m + 9$, является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем случае $x=4m$ и $y=3$, так как $(4m)^2 = 16m^2$, $(3)^2 = 9$ и $2 \cdot 4m \cdot 3 = 24m$.

$3mn(16m^2 - 24m + 9) = 3mn(4m-3)^2$

Ответ: $3mn(4m-3)^2$