Номер 704, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §18. Сумма и разность кубов двух выражений - номер 704, страница 121.

Условие.

704. Разложите на множители:

1) $3x^2 + 12xy;$

2) $10m^5 - 5m;$

3) $ab - ac + 7b - 7c;$

4) $6x - xy - 6y + y^2;$

5) $49b^2 - c^2;$

6) $p^2 + 12pk + 36k^2;$

7) $100a^4 - \frac{1}{9}b^2;$

8) $25a^2 - (a - 3)^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения на множители выражения $3x^2 + 12xy$ найдем общий множитель для обоих слагаемых. Наибольший общий делитель для коэффициентов 3 и 12 равен 3. Общая переменная с наименьшей степенью - это $x$. Таким образом, общий множитель равен $3x$. Вынесем его за скобки:

$3x^2 + 12xy = 3x \cdot x + 3x \cdot 4y = 3x(x + 4y)$.

Ответ: $3x(x + 4y)$.

2) В выражении $10m^5 - 5m$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель для коэффициентов 10 и 5 равен 5. Общая переменная с наименьшей степенью - это $m$. Таким образом, общий множитель равен $5m$. Вынесем его за скобки:

$10m^5 - 5m = 5m \cdot 2m^4 - 5m \cdot 1 = 5m(2m^4 - 1)$.

Ответ: $5m(2m^4 - 1)$.

3) Для разложения на множители выражения $ab - ac + 7b - 7c$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(ab - ac) + (7b - 7c)$

Из первой группы вынесем общий множитель $a$, а из второй - общий множитель 7:

$a(b - c) + 7(b - c)$

Теперь у нас есть общий множитель $(b - c)$, который мы можем вынести за скобки:

$(b - c)(a + 7)$

Ответ: $(b - c)(a + 7)$.

4) В выражении $6x - xy - 6y + y^2$ применим метод группировки. Сгруппируем первое и третье слагаемые, а также второе и четвертое:

$(6x - 6y) + (-xy + y^2)$

Из первой группы вынесем общий множитель 6, а из второй группы вынесем $-y$:

$6(x - y) - y(x - y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(6 - y)$

Ответ: $(x - y)(6 - y)$.

5) Выражение $49b^2 - c^2$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a^2 = 49b^2 = (7b)^2$ и $b^2 = c^2$.

Следовательно, $a = 7b$ и $b = c$.

Подставляем в формулу:

$49b^2 - c^2 = (7b)^2 - c^2 = (7b - c)(7b + c)$.

Ответ: $(7b - c)(7b + c)$.

6) Выражение $p^2 + 12pk + 36k^2$ является полным квадратом. Воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае:

первый член $a^2 = p^2$, значит $a = p$.

третий член $b^2 = 36k^2 = (6k)^2$, значит $b = 6k$.

Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot p \cdot 6k = 12pk$.

Так как удвоенное произведение совпадает со вторым членом выражения, то это действительно квадрат суммы.

$p^2 + 12pk + 36k^2 = (p + 6k)^2$.

Ответ: $(p + 6k)^2$.

7) Выражение $100a^4 - \frac{1}{9}b^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата:

$100a^4 = (10a^2)^2$

$\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$

Таким образом, $x = 10a^2$ и $y = \frac{1}{3}b$.

Подставляем в формулу:

$100a^4 - \frac{1}{9}b^2 = (10a^2 - \frac{1}{3}b)(10a^2 + \frac{1}{3}b)$.

Ответ: $(10a^2 - \frac{1}{3}b)(10a^2 + \frac{1}{3}b)$.

8) Выражение $25a^2 - (a - 3)^2$ представляет собой разность квадратов. Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 25a^2 = (5a)^2$, значит $x = 5a$.

$y^2 = (a - 3)^2$, значит $y = a - 3$.

Подставляем в формулу:

$25a^2 - (a - 3)^2 = (5a - (a - 3))(5a + (a - 3))$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $5a - (a - 3) = 5a - a + 3 = 4a + 3$.

Вторая скобка: $5a + (a - 3) = 5a + a - 3 = 6a - 3$.

Получаем выражение: $(4a + 3)(6a - 3)$.

Во второй скобке можно вынести общий множитель 3:

$(4a + 3) \cdot 3(2a - 1) = 3(4a + 3)(2a - 1)$.

Ответ: $3(4a + 3)(2a - 1)$.